문자가 여러 개인 다항식[심화2](1/4) - 다변수 다항식의 구분

■ 목표

- 인수분해 심화유형 미리보기

- 다변수 다항식의 구분

 

 

 

 

 

인수분해 심화유형 미리보기

 

인수분해 단원의 두 번째 심화유형입니다.

 

 

문제자체는 "다음을 인수분해하여라."

이게 끝이지만, 식은 꽤나 복잡해서

보자마자 관두고 싶은 마음이 듭니다.

 

 

예를 들면 이렇죠.

 

 

■ 예시

 

문자가 여러 개인 다항식이니까

내림차순 정리를 이용하면 어떻게든 인수분해가 가능합니다.

 

 

<참고> 내림차순 정리를 이용한 인수분해

인수분해 방법3 - 내림차순 정리 [문자가 여러 개인 다항식]

 

하지만 좀 더 쉬운 방법은 없을까요?

 

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이 식을 자세히 살펴보면 특이하게도

3개의 항이 똑같은 구조를 갖고 있다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

이렇게 생긴 구조의 식에 순서대로

$x$,  $y$,  $z$

$y$,  $z$,  $x$

$z$,  $x$,  $y$

를 넣어서 만든 항들이죠.

 

 

따라서, 이 식은 이렇게

 

$x$ 대신  $y$,  $y$ 대신  $z$,  $z$ 대신  $x$ 를

바꿔 넣어도 변함이 없는 식입니다.

 

 

 

 

이런 식을 윤환식이라고 합니다.

 

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즉, 문자가 여러 개인 다항식 중에서도

특이한 구조를 가진 식들이 존재하고,

문제로도 나온다는 뜻입니다.

 

 

우리는 이 특이한 구조를 파악하고,

이를 이용해서 빠르게 인수분해하는 방법을 알아보려 합니다.

 

 

그래서 그전에

문자가 여러 개인 다항식에 대해 좀 더 자세히 살펴보고

기반을 다져보도록 할게요.

 

 

 

다변수 다항식의 구분

 

변수(문자)가 하나인 식을 좀 더 전문적인 말로는

일변수 다항식이라고 합니다.

 

 

"$x$ 에 대한 식"이라는 표현으로

$f(x)$ 라는 기호도 사용하고,

 

 

최고차항이  $x^2$ 이므로

"$x$ 에 대한 이차식" 이라고 부르죠.

 

 

문자가 여러 개인 다항식은 어떨까요?

 

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지금까지는 인수분해를 하기 위해

$y$ 를 상수 취급하고

"$x$ 에 대한 2차식으로 치자!" 했었지만,

정확한 정의를 해보죠.

 

 

문자(변수)가 여러 개인 다항식은 전문적으로는

다변수 다항식이라고 합니다.

 

 

위 식에서  $x$ 와  $y$ 는

동등한 변수이기 때문에

"$x$ 와  $y$ 에 대한 식"이라는 뜻으로

$f(x, y)$ 라는 기호를 써서 표현합니다.

 

 

또, 이 식에서 차수를 결정할 때에는

"모든 문자들의 총 곱해진 횟수" 를 따져서 결정합니다.

 

 

$x^2$ 은  $x$ 가 2개 곱해졌으니 당연히 이차항이고,

$4xy$ 도 문자가 총 2개 곱해졌으니 이차항이 됩니다.

 

 

즉, 이 식은 변수가 두 개이고, 최고차항이 이차항이므로,

2변수 2차 다항식입니다.

"$x$ 와  $y$ 에 대한 이차식" 이라고 부릅니다.

 

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자 여기서 아까봤던 예제의 식입니다.

 

 

이 식은 변수가 3개이고, 최고차항은 3차입니다.

즉, 3변수 3차 다항식입니다.

 

 

다만, 이 식은 한 가지 더 특이한 점이 있는데,

바로 "모든 항이 3차" 라는 점입니다.

 

 

$x^2y-x^2z+y^2z-y^2x+z^2x-z^2y$

전개해보면 알 수 있죠.

 

 

이처럼 "모든 항의 차수가 같은 식" 은

동차 다항식이라고 합니다.

아니라면 비동차 다항식이죠.

 

 

인수분해 문제에서 등장하는 다항식이

만약, 다변수 동차 다항식이라면

특이한 구조를 가지고 있을 가능성이 큽니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지가 심화유형을 위한 배경지식입니다.

 

 

이번엔 결국 심화유형의 인수분해 방법이 아니라

새로운 용어와 기호만 알 게 된 것 같지만,

맞아요...

 

 

하지만, 이를 통해서 우선 어떤 다항식인지 알아낼 수 있는

눈을 갖추는 것이 목표입니다.

 

 

다음엔 특이한 구조를 가진 다변수 다항식인 윤환식.

그 중에서도 대칭식과 교대식에 대해 그리고

인수분해를 하는 방법에 대해 알아볼게요.