문자가 여러 개인 다항식[심화2](3/4) - 교대식(Alternating Polynomial)

 

 

■ 목표

- 교대식이란

- 교대식의 성질 ①

- 교대식의 성질 ②

 

 

 

 

 

교대식(Alternating Polynomial)

 

교대는 "번갈아서" 라는 뜻인데요,

마치 껐다켰다하는 "스위치" 같은 이미지를

생각하시면 될 것 같습니다.

 

 

대칭식은 어떤 두 문자의 자리를 바꾸어도

전혀 변함이 없는 식이라고 했었죠.

 

 

교대식은 어떤 두 문자의 자리를 바꾸면

식 전체의 부호가 바뀌어버리는 식을 말합니다.

 

 

예를 들어,

$x^2-y^2$ 같은 식이죠.

 

 

 

 

실제로  $x$ 와  $y$ 를 바꿔보면

원래식과 정확히 부호가 반대로 바뀐다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

이 성질을 표현해보면 다음과 같습니다.

 

■ 2변수 교대식

 

■ 3변수 교대식

 

 

 

교대식의 성질 ①

 

대칭식에서 했던 것처럼,

이번엔 교대식을 2개 가져와서  $+, -, \times, \div$ 해보면

어떤 식이 될지 한번 살펴보죠.

 

 

■ 예제

여기 두 개의 교대식이 있습니다.

 

 

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먼저, 두 교대식을 더한 식입니다.​

 

 

이 경우엔 새로운 식도 여전히 부호가 바뀌는

교대식이 된다는 것을 알 수 있죠.

 

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이번에는 두 교대식을 곱한 식입니다.

 

 

부호가  $-$ 로 바뀌는 식을 2개 곱했더니,

결국은 다시  $+$ 가 되었죠.

한마디로, 대칭식이 됩니다.

 

■ 교대식의 성질 ①

​

 

 

교대식의 성질 ②

 

교대식은 대칭식과는 다르게

굉장히 특별한 성질 하나를 가지고 있습니다.

 

 

"부호가 바뀐다" 는 성질 때문에

교대식은 어떤  "인수" 를

반드시 가지고 있어야만 합니다.

 

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먼저, 2변수 교대식이라면,

다음과 같은 조건을 만족해야합니다.

 

 

여기서  "$x$ 대신  $y$ 를 대입" 하면 어떻게 될까요?

 

 

두 식이 부호만 다른데, 완전히 같다.

이 말은 두 식 모두  $0$ 이라는 뜻입니다.

$x=-x$ 라는 뜻은  $x=0$ 이라는 뜻이니까요.

 

 

따라서, 2변수 교대식은 모두  $(x-y)$ 를 인수로 가집니다!

 

 

실제로,  $x^2-y^2$ 이나 $x^3-y^3$ 등의 교대식을

인수분해해보면 알 수 있습니다.

 

 

 

 

그리고  $(x-y)$ 뒤에 곱해진 식은

모두 대칭식입니다.

(교대식)=(교대식)$\times$(대칭식) 이기 때문이죠.

 

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3변수 대칭식은 다음 세 조건을 만족해야 하다보니

더 엄청납니다.

 

 

각 줄에서 순서대로

$x$ 대신  $y$ 를 대입

$y$ 대신  $z$ 를 대입

$z$ 대신  $x$ 를 대입

해보면 모든 식이  $0$ 이 되어야한다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

결론적으로 모든 3변수 교대식은

반드시  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 를 인수로 가집니다.

 

 

■ 교대식의 성질 ②

   2변수 교대식 : 반드시  $(x-y)$ 를 인수로 갖는다.

   3변수 교대식 : 반드시  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 를 인수로 갖는다.

 

​

 

 

마무리

 

교대식은 단지

교대식이라는 것을 찾아내는 것 만으로도

인수를 찾아낼 수 있다는 장점이 있죠.

 

 

다음 시간에는 실제로

대칭식과 교대식을 인수분해 해볼게요!