문자가 여러 개인 다항식[심화2](4/4) - 대칭식과 교대식의 인수분해

■ 목표

- 3차 교대식/대칭식의 인수분해

- 4차 교대식/대칭식의 인수분해

 

 

 

 

 

3차 교대식/대칭식의 인수분해

 

먼저 인수분해 해볼 것은

$f(x,y,z)$ 으로 표현되는 3변수 3차 다항식입니다.

 

 

가장 많이 나오는 유형인 데다, 할 줄 알게 되면 꽤 쉽답니다.

예시를 살펴보죠.

 

 

 

■ 예시1

 

 

① 다항식에 대한 분석

문자는 3종류입니다 → 3변수 다항식

식의 항은 총 6개. 모두 문자가 3개씩 곱해져 있으므로. 3차 동차 다항식입니다.

 

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② 특이한 구조 확인

동차 다항식의 경우 특이한 구조가 있을 가능성이 큽니다.

$x→y→z$ 이렇게 한 바퀴 돌려 넣었을 때, 동일한지 확인해 봅니다.

 

 

이를 만족한다면 윤환식임을 알 수 있습니다.

 

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③ 대칭식인지 교대식인지 확인

윤환식이라면 대칭식이나 교대식일 수 있죠.

이번엔  $x↔y$ 이렇게 자리를 바꾸어 봅니다.

 

 

 

 

부호가 바뀌는 것을 보니, 교대식인 것을 알 수 있습니다.

 

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④ 교대식의 성질로 인수분해

3차 교대식은 반드시  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 를 인수로 가집니다.

 

 

 

 

다만, 혹시나 다른 인수가 더 있을 수도 있기 때문에

뒤에  $g(x,y,z)$ 를 곱해서 모르는 식이 있음을 표현해 줍니다.

 

 

<참고> 교대식

문자가 여러 개인 다항식[심화2] - ③ 교대식(Alternating Polynomial)

 

 

※ 만약, 대칭식이라면 따로 인수를 찾아야 합니다.

$x→y$ 를 대입했을 때,  $0$ 이 되는지 확인해 주면 됩니다.

만약 된다면 $(x+y)$ 를 인수로! 그리고,

윤환식이기 때문에,  $(x+y)(y+z)(z+x)$ 를 인수로 갖습니다.

 

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⑤  $g(x,y,z)$ 구하기

이 식이 항등식임을 활용합니다.

원래식이 3차식이고, 오른쪽의  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 도 이미 3차식이기 때문에,

$g(x,y,z)$ 는 그냥 상수이고,  $k$ 라고 놓을 수 있습니다.

 

 

 

 

역시 항등식이므로,

양쪽에서 특정 항을 비교해 보면 됩니다.

 

 

 

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드디어 이렇게 인수분해가 마무리됩니다.

 

 

■ 3차 교대식  $f(x, y, z)$ 인수분해 방법

① 차수 확인 : 모든 항이 3차항 → 3차 동차

② 윤환식 확인 :  $x→y→z$ 를 대입했을 때, 동일한지.

③ 교대식/대칭식 확인 :  $x→y$ 를 대입했을 때, 부호가 바뀌면 교대식, 안 바뀌면 대칭식

④ 인수분해 : 교대식 →  $f(x,y,z)=k(x-y)(y-z)(z-x)$

                      대칭식 →  $f(x,y,z)=k(x+y)(y+z)(z+x)$

⑤ 항등식 임을 이용해서  $k$ 찾기

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■ 예제1

다음을 인수분해 하시오.

1) $xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

2) $(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

3) $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$

4) $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz$

5) $(y+z)x^2+(z+x)b^2+(x+y)z^2+2xyz$

(정답)

1) $-(x-y)(y-z)(z-x)$

2) $(x+y)(y+z)(z+x)$

3) $3(x+y)(y+z)(z+x)$

4) $(x+y)(y+z)(z+x)$

5) $(x+y)(y+z)(z+x)$

 

 

 

4차 교대식/대칭식의 인수분해

 

솔직히 3차 교대식/대칭식 문제도 너무 어렵기 때문에

4차까지 문제로 나오진 않을 거라 생각해요.

 

 

그래도 방법은 거의 동일하고,

마지막 한 가지 과정만 추가하면 되니 한번 해보죠.

 

 

 

■ 예시2

 

 

① 4차 동차 다항식입니다.

② $x→y→z$ 돌려 넣어도 똑같습니다. 즉, 윤환식입니다.

③ $x↔y$ 자리를 바꾸면, 부호가 바뀝니다. 즉, 교대식입니다.

④ 교대식의 성질로 인수분해가 됩니다.

 

 

 

 

⑤  $g(x,y,z)$ 를 구해줍니다.

문제는 원래식이 4차식이고, 오른쪽의  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 은 3차식이라는 점입니다.

따라서,  $g(x,y,z)$ 는 1차식이어야 합니다.

 

 

게다가 원래식은 교대식이고, 오른쪽의  $(x-y)(y-z)(z-x)$ 도 교대식입니다.

따라서,  $g(x,y,z)$ 는 대칭식이어야 합니다.

(교대식)$\times$(대칭식)=(교대식)이니까요.

 

 

<참고> 대칭식

문자가 여러 개인 다항식[심화2] - ② 대칭식(Symmetric Polynomial)

 

 

3변수 기본대칭식은  $(x+y+z)$ 이므로,

$g(x,y,z)=k(x+y+z)$ 라고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

마지막  $k$ 를 구해줍니다.

 

 

 

 

결국 이렇게 인수분해가 됩니다!

 

 

 

 

■ 예제2

다음을 인수분해하시오.

1) $x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

2) $x^2y^2(x-y)+y^2z^2(y-z)+z^2x^2(z-x)$

(정답)

1) $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

2) $-(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$

 

 

 

마무리

 

어쩌면 너무너무 어려울 수도 있는

교대식/대칭식의 인수분해가 드디어 끝났어요.

최대한 쉽게 만들어보려 했는데,

역시 복잡해 보이네요.

 

 

드디어 인수분해 단원도 끝.

다항식의 연산이 끝입니다!

다음 시간은 새로운 대단원에서 봐요!