문자가 여러 개인 다항식[심화2](2/4) - 대칭식(Symmetric Polynomial)

■ 목표

- 대칭식이란

- 대칭식의 성질

- 대칭식의 기본정리

 

 

 

 

 

대칭식(Symmetric Polynomial)

 

대칭이란 무언가가 동등하다는 뜻입니다.

좌우대칭은 좌우의 모양이 같은 것이고,

선대칭은 어떤 선을 기준으로 양쪽이 같은 것이죠.

 

 

문자가 여러 개인 식 즉, 다변수 다항식에서는

각 문자의 역할이 완벽하게 동등한 식을

대칭식이라고 합니다.

 

 

그래서  $x$ 와  $y$ 의 "자리를 바꾸어도"

아무런 문제가 되지 않죠.

 

 

예를 들면,

$x+y+z$,  $x^2+y^2+z^2$,  $xy+yz+zx$,  $3xyz$

이런 식들이 바로 대칭식입니다.

 

 

$x^2+y+z$,  $2x+3y-z$

이런 식들은 대칭식이 아니죠.

 

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대칭식인지 확인하는 방법은

실제로 문자 두 개를 골라서 서로 바꿔보면 됩니다.

 

 

만약, 바꿨는데도 원래 식과 완벽히 똑같은 식이 된다면

대칭식이라는 것을 알 수 있죠.

 

 

이 성질을 정리하면 다음과 같습니다.

 

■ 2변수 대칭식

 

■ 3변수 대칭식

​

 

 

대칭식의 성질

 

대칭식이 가진 성질 중 쉬운 것 하나는

대칭식을 2개 가져와서  $+, -, \times, \div$ 해도

여전히 대칭식이 된다는 것입니다.

 

 

생각해 보면 당연한 말이기도 해요.

"$x$ 랑  $y$ 를 바꿔도 똑같아지는 식"을 두 개 더하면,

마찬가지로  "$x$ 랑  $y$ 를 바꿔도 똑같아지는 식" 이 됩니다.

 

 

 

이렇게 말이죠.

 

 

■ 대칭식의 성질

​

 

 

대칭식의 기본정리

 

 

정리라는 건, 이미 정확한 증명을 거쳐서 검증된 말이에요.

그러니, 대칭식의 기본정리도 잘 이해하고 활용할 수만 있다면,

많은 대칭식 문제들을 편하게 풀어낼 수 있을 거예요.

 

 

우선은 기본대칭식이 뭔지 알아야겠군요.

기본대칭식은 가장 단순하게 만든 대칭식인데,

계수 없이 딱, 주어진 문자들만 가지고 만든 항들을 더하면 됩니다. 

 

 

만약,  $x$ 와  $y$ 라는 두 개의 문자로 기본대칭식을 만든다면,

$x$ 와  $y$ 를 하나만 딱 뽑아서 더한  $x+y$

$x$ 와  $y$ 를 같이 뽑아서 곱한  $xy$

이렇게 두 개만 기본대칭식이 됩니다.

 

 

차수에 따라

$x+y$ 는 1차 기본대칭식

$xy$ 는 2차 기본대칭식입니다.

 

 

그렇다면, 대칭식의 기본정리에 따라서

$x$ 와  $y$ 로 만든 모든 대칭식은

기본대칭식인  $x+y$ 와  $xy$ 로 이루어져 있다!

한번, 확인해 보죠.

 

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■ 예시1

$x^2+y^2$ 은 2차 대칭식입니다.

따라서, 1차 기본대칭식을 두 번 곱한  $(x+y)^2$ 와

2차 기본대칭식인  $xy$ 를 몇 개씩 더하면 만들 수 있습니다.

 

 

 

 

기본대칭식을 몇 개 썼는가.

즉, 계수인  $a=1$ 와  $b=-2$ 는

식을 잘 비교해서 찾아내면 됩니다.

 

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■ 예시2

$x^3+y^3$ 은 3차 대칭식입니다.

1차 기본대칭식을 세 번 곱한  $(x+y)^3$,

1차와 2차 기본대칭식을 곱한 $(x+y)xy$.

이거 말고는 3차를 만들 수 없겠군요.

 

 

 

사실 우리가 이미 외운 곱셈공식의 변형공식인데 새롭게 보이죠?

 

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이번엔 3변수 다항식을 살펴볼게요.

 

■ 3변수 다항식의 기본대칭식

 

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■ 예시3

$x^2+y^2+z^2$ 은 2차 대칭식입니다.

1차 기본대칭식을 두 번 곱한  $(x+y+z)^2$,

2차 기본대칭식인 $xy+yz+zx$ 로 만들 수 있습니다.

 

 

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■ 예시4

$x^3+y^3+z^3$ 은 3차 대칭식입니다.

1차 기본대칭식을 세 번 곱한  $(x+y+z)^3$,

1차와 2차 기본대칭식을 곱한  $(x+y+z)(xy+yz+zx)$,

3차 기본대칭식인  $xyz$ 로 만들 수 있습니다.

 

 

 

 

여기선, 계수인  $a$,  $b$,  $c$ 찾는 게 어려울 수 있는데,

항을 하나씩 뽑아서 비교하는 방법으로 할 수 있습니다.

(계수 찾기)

왼쪽을 보면  $x^3$ 이란 항의 계수는 1이죠.

오른쪽에서  $x^3$ 을 만들려면  $a(x+y+z)^3$ 여기서 만들 수밖에 없으니  $a=1$ 입니다.

 

 

이번엔  $x^2y$ 항은 왼쪽에서 없으니 계수가 0입니다.

오른쪽에서는  $(x+y+z)^3$ 에서  $3x^2 y$,  $b(x+y+z)(xy+yz+zx)$ 에서  $b3x^2 y$.

따라서,  $b=-3$ 입니다.

 

 

마지막으로,  $xyz$ 항의 계수는 0입니다.

$(x+y+z)^3$ 에서  $6xyz$, 

$-3(x+y+z)(xy+yz+zx)$ 에서  $-9xyz$

따라서,  $cxyz$ 에서는  $c=3$ 이어야 합니다.

 

 

 

묶어주고 정리하면,

우리가 아는 곱셈공식이 완성됩니다.

 

 

 

마무리

 

다변수 다항식 중 특이한 성질을 지닌 첫 번째인

대칭식에 대해 알아봤습니다.

 

 

대칭식의 기본정리를 통해서

식을 다른 모양으로 바꾸는 것도 해봤는데요.

우리의 최종목표는 사실 "인수분해 쉽게 하기" 입니다.

 

 

하지만, 그 방법을 배우기 위해 필요한 것이 많다 보니

긴 여정이 되고 있죠.

곧 마무리될 거예요!

 

 

다음 시간에는 교대식에 대해 배워볼게요.