나머지정리2 [3차식으로 나눈 나머지]

■ 목표

- 3차식으로 나눈 나머지 구하기

- 문제구조 살펴보기

 

 

 

 

<참고> 이어지는 내용입니다.

나머지정리1 [1차식/2차식으로 나눈 나머지]

 

 

 

C-1. 3차식으로 나눈 나머지(인수분해됨)

 

이번에는 어떤 식을 (3차식)으로 나눈 경우입니다.

(3차식)이라 복잡하긴 해도 만약

(1차식)(1차식)(1차식)으로 인수분해가 된다면

방법 자체는 간단합니다.

 

 

■ 3차식으로 나눈 나머지 구하기1

​

①  $R(x)$ 는 3차식보다 작은 2차식입니다.

②  $R(x)$$=ax^2+bx+c$ 라고 할 수 있습니다.

③  $x=α$,  $x=β$,  $x=γ$ 를 대입합니다.

 

 

하지만, 미정계수가  $a, b, c$ 3개인 이상

연립방정식을 푸는데 꽤나 고생을 해야겠죠.

 

 

예로 문제를 하나 풀어보겠습니다.

 

 

■ 예제

 $A(x)$ 를  $x$ 로 나눈 나머지는  $4$,  $x-1$ 로 나눈 나머지는  $1$,  $x-2$ 로 나눈 나머지는  $2$ 이다.

이때,  $A(x)$ 를  $x(x-1)(x-2)$ 로 나눈 나머지를 구하시오.

(풀이)

우선, 삼차식으로 나눈 나머지이므로

$R(x)=ax^2+bx+c$ 라고 할 수 있습니다.

 

일차식으로 나눈 나머지들을 통해

$A(0)=4$,  $A(1)=1$,  $A(2)=2$ 임을 알 수 있습니다.

 

$A(x)=x(x-1)(x-2)Q(x)+R(x)$ 이므로,

$x=0, 1, 2$ 를 대입합니다.

 

$4=R(0)=c$

$1=R(1)=a+b+c$

$2=R(2)=4a+2b+c$

 

연립해서 풀어주면

$a=2$,  $b=-5$,  $c=4$

$R(x)=2x^2-5x+4$ 입니다.

 

 

 

C-2. 3차식으로 나눈 나머지(인수분해 안됨)★

 

이번엔 (3차식)이 인수분해가 되긴 하는데

(1차식)(2차식)으로 인수분해가 된다면 어떨까요?

 

 

많은 학생들이 가장 어려워하는 유형이죠.

천천히 살펴볼게요.

 

 

$A(x)$ 를  $(x-α)B(x)$ 로 나눈 식입니다.

 

 

 

 

우선,  $(x-α)$ 로 나눈 나머지를 이용하는 방법은

그냥  $x=α$ 를 대입하는 것(수치대입법)입니다.

$A(α)=R(α)$ 라는 결과를 얻을 수 있죠.

 

---

 

하지만,  $B(x)$ 는 어떻게 이용할까요?

대입해서  $B(x)=0$ 이 되는  $x$ 가 없다면

수치대입법 활용이 어렵습니다.

 

 

그래서 위 식에서

$B(x)$ 로 나누었을 때의

"몫과 나머지가 어떻게 변형"되는지 살펴볼게요.

 

 

<참고>

몫과 나머지의 변형

 

 

 

우선,  $(x-α)$ 는  $Q(x)$ 에 곱해지면서

새로운 몫이 됩니다.

 

 

그리고  $B(x)$ 가 (2차식)이고,  $R(x)$ 도 (2차식)이기 때문에

"$B(x)$ 는  $R(x)$ 를 나눌 수 있습니다!"

이렇게 말이죠.

 

 

 

 

(2차식)÷(2차식)을 하면

몫은 상수이고, 나머지는 (1차식)입니다.

---

이를 이용해서

$B(x)$ 로 나눈 나머지를 정리해볼게요.

 

 

 

 

잘 살펴보면

$A(x)$ 를  $B(x)$ 로 나눈 나머지와

$R(x)$ 를  $B(x)$ 로 나눈 나머지는

같습니다.

 

 

이 중요한 내용을 이해하면

생각보다 훨씬 편하게

$R(x)$ 를 구할 수 있습니다.

 

 

■ 3차식으로 나눈 나머지 구하기2

 

​

 

①  $R(x)$ 는 3차식보다 작은 2차식입니다.

②  $B(x)$ 를 이용하여,  $R(x)$$=a$$B(x)$$+bx+c$ 라고 할 수 있습니다.

③  $x=α$ 를 대입합니다.

 

 

예로 문제를 하나 풀어보겠습니다.

 

 

■ 예제

 $A(x)$ 를  $x^2+x+1$ 로 나눈 나머지는  $2x-1$,  $x-1$ 로 나눈 나머지는  $4$ 이다.

이때,  $A(x)$ 를  $(x-1)(x^2+x+1)$ 로 나눈 나머지를 구하시오.

(풀이)

$R(x)$ 는 이차식입니다.

$A(x)$ 를  $x^2+x+1$ 로 나눈 나머지는  $2x-1$ 이다.

즉,  $R(x)$ 를  $x^2+x+1$ 로 나눈 나머지는  $2x-1$ 이다.

 

이를 통해,  $R(x)=a(x^2+x+1)+2x-1$ 이라고 놓을 수 있습니다.

 

$x-1$ 로 나눈 나머지가  $4$ 이므로,

$R(1)=3a+1=4$

즉,  $a=1$ 입니다.

 

$R(x)=x^2+3x$

 

 

 

마무리

 

여기까지! 어땠나요?

나름 수학(상)에서 많은 학생들이 좌절시킨

첫 번째 보스 역할을 담당하고 있는 유형입니다.

몇 가지 포인트만 잘 이해하면 충분히 할 수 있는 유형이니

잘 연습하면 될 거예요.