몫과 나머지의 변형

■ 목표

- B가 변할 때,  Q와  R의 변화 알아보기

- B(x)가 변할 때,  Q(x)와  R(x)의 변화 알아보기

 

 

 

 

나눗셈에서 몫과 나머지 변형

 

나눗셈의 목적은

몫(Q)과 나머지(R)를 구하는 것이고.

당연히 "뭘로 나누냐" 에 따라 달라집니다.

즉, B가 바뀌면 Q도, R도 바뀝니다.

 

이때, 같은 나눗셈 식에서

B가 작아진다면 Q는 커지고,

R은 작아집니다.

 

예를 들어볼게요.

 

 

■ 예시

$46$ 을  $12$ 로 나눠보겠습니다.

 

 

이제 이 식을 이용해서

$12$ 가 아니라  $4$ 로 나눴을 때의

몫과 나머지가 바뀌는 과정을 살펴볼게요.

 

 

핵심은 두 가지입니다.

①  $12$ 에 있던  $3$ 이 몫으로 곱해졌다

② 나머지였던  $10$ 도  $4$ 로 나눠지고, 그만큼 몫에 더해졌다.

 

이것이 기존의 나눗셈식에서

새로운 몫과 나머지를 찾는 방법입니다.

 

 

 

다항식의 나눗셈에서 몫과 나머지 변형

 

이젠 다항식의 나눗셈입니다. 

 

 

다항식의 나눗셈에서 중요한 건

각 식의 차수입니다.

특히,  $R(x)$ 의 차수는 무조건

$B(x)$ 의 차수보다 낮아야 합니다.

 

만약,  $B(x)$ 의 차수가 변하지 않는다면

$R(x)$ 는 바뀌지 않습니다.

 

 

■ 예시1

어떤 식을  $(x-1)$ 로 나눈 식에서

$(2x-2)$ 로 나누었을 때, 몫과 나머지의 변화입니다.

 

 

$B(x)$ 가 두 배가  된 만큼,

$Q(x)$ 는 반으로 줄었지만, 나머지에는 변화가 없습니다.

 

즉,  $B(x)$ 의 차수가 그대로 일차이기 때문에,

나머지도 상수인 그대로,

$Q(x)$ 도 일차식인 그대로입니다.

 

 

■ 예시2

어떤 식을  $x(x-1)$ 로 나눈 식에서

$(x-1)$ 로 나누었을 때, 몫과 나머지의 변화입니다.

 

 

꽤 복잡해 보이죠?

처음  $B(x)$ 가 이차식이기 때문에,  $R(x)$ 는 일차식입니다.

그런데, 일차식으로 나누게 되면,  $R(x)$ 는 상수여야 합니다.

즉, 추가로  $R(x)$ 는 한번 더 나누어지게 됩니다.

 

 

그럼, 퀴즈입니다.

 

 

■ 예제

다항식  $A(x)$ 를  $x-1$ 로 나눈 몫을  $Q(x)$, 나머지를  $R$ 이라고 하자.

이때,  $xA(x)$ 를  $x-1$ 로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.

 

(풀이)

처음 나눗셈 과정을 식으로 세워보면 이렇습니다.

$A(x)=(x-1)Q(x)+R$

 

이번엔  $xA(x)$ 를 나눠야 하죠.

기존의 식을 이용하기 위해서

양변에  $x$ 를 곱합니다.

$xA(x)=x(x-1)Q(x)+Rx$

 

여기에서  $(x-1)$ 로 나누었을 때의

몫과 나머지를 구합니다.

 

$xA(x)=(x-1)xQ(x)+R(x-1)+R$

$xA(x)=(x-1)${$xQ(x)+R$}$+R$

 

몫 : $xQ(x)+R$,  나머지 : $R$

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음엔 3차식으로 나눈 나머지를 알아볼게요!