본문 바로가기
공통수학1 [고1]/2. 항등식과 나머지정리

인수정리

by Hamston 2022. 11. 14.
반응형

목표

- 인수 vs 약수 차이 이해하기

- 인수정리 이해하기

 

인수정리 썸네일

 

 

 

인수 vs 약수

 

"소인수분해", "인수분해"

뭔가 자연스럽게 사용은 하고 있었지만

인수가 정확히 뭘까요?

 

 

인수(Factor)약수(Divisor)

비슷한 단어이긴 합니다.

하지만, 사용하는 곳이 조금 다를 뿐이죠.

 


 

예를 들어,  4는  12를 나눌 수 있습니다.

12÷4=3

이때,  4를  12약수라고 합니다.

 

 

한편,  4는  3을 곱해서  12를 만들 수 있습니다.

다른 말로,

12를 "4와  3의 곱으로 표현" 할 수 있습니다.

12=4×3 

이때는,  4를  12 인수라고 합니다.

 

 

사실 거의 별 차이는 없지만,

약수는 "어떤 수를 나눌 수 있는 수"

인수는 "어떤 수를 구성하는 요소인 수"

라는 의미로 사용합니다.

 


 

고등수학에서 나눗셈을 할 때는,

나눗셈(÷)이라는 "연산과정" 의 의미보다

"등호(=)" 의 의미에 좀 더 집중합니다.

 

 

<참고> [고1 수학/1. 다항식의 연산] - 나눗셈에 대한 등식

 

 

따라서, 자연스럽게

약수보다는 인수라는 단어를 많이 사용하게 됩니다.

 

 

 

인수정리

 

다시 등장한 나눗셈에 대한 항등식

 

 

그동안은 다항식의 나눗셈을 하면서

"나머지" 를 구하는 방법에 대해 계속 알아봤었죠.

 

 

하지만,  "나머지가 0"  혹은  "나누어 떨어졌다" 인 경우.

즉, 나머지인  R(x) 이 사라지면 식은 이렇게 됩니다.

 

 

 

 

A(x) 는  B(x) 와  Q(x) 의 곱으로 이루어졌다.

즉,  B(x) 와  Q(x) 는  A(x)인수입니다.

 

 

또, 이 식은 항등식이기 때문에

B(x) 의 근을 이용해서,  A(x) 근을 찾을 수 있습니다.

 

 

양변에  B(x) 를  0이 되게 하는

x 대입하는 것이죠.

 


예시

 

이차식  x25x+6 이  (x2) 로 나누어 떨어진다.

식으로 써보면, 이렇게 되겠죠.

 

 

오른쪽 식에서  x=2 를 대입하면  0 이기 때문에,

왼쪽 식에도  x=2 를 대입하면  0 일 거라는 것을

알 수 있습니다.

 

 

 인수정리

인수정리

 

 

인수정리를 이용해 미정계수 구하기

 

인수정리를 이용한 문제 유형입니다.

 

 

A(x) 의 인수인  B(x) 를 보면

쉽게 근을 찾을 수 있다는 점을 이용합니다.

 

 

 일차식인  B(x) 로 나누어 떨어진 경우

일차식으로 나누어 떨어진 경우

 이차식인  B(x) 로 나누어 떨어진 경우

이차식으로 나누어 떨어진 경우

 

예제로 미정계수 찾는 문제를 하나 풀어볼까요?

 


예제

다항식  x3+x2+ax+b 가  x21로 나누어 떨어질 때,  상수  a와  b에 대하여  a+b 를 구하시오.

(풀이)

더보기

식을 세워보면 이렇습니다.

x3+x2+ax+b=(x21)Q(x)

x3+x2+ax+b=(x+1)(x1)Q(x)

 

즉,  x=1x=1 을 대입해 보면

1+1a+b=01+1+a+b=0 임을 알 수 있습니다.

 

연립해서 풀어보면  a=1b=1 이므로,

a+b=2 입니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음 대단원인 인수분해 단원에서는

인수정리를 이용한 인수분해 방법을

다룰 수 있을 거예요.

반응형

댓글