인수정리

■ 목표

- 인수 vs 약수 차이 이해하기

- 인수정리 이해하기

 

 

 

 

인수 vs 약수

 

"소인수분해", "인수분해"

뭔가 자연스럽게 사용은 하고 있었지만

인수가 정확히 뭘까요?

 

 

인수(Factor)는 약수(Divisor)와

비슷한 단어이긴 합니다.

하지만, 사용하는 곳이 조금 다를 뿐이죠.

 

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예를 들어,  $4$는  $12$를 나눌 수 있습니다.

$12÷4=3$

이때,  $4$를  $12$의 약수라고 합니다.

 

 

한편,  $4$는  $3$을 곱해서  $12$를 만들 수 있습니다.

다른 말로,

$12$를 "$4$와  $3$의 곱으로 표현" 할 수 있습니다.

$12=4×3$ 

이때는,  $4$를  $12$의 인수라고 합니다.

 

 

사실 거의 별 차이는 없지만,

약수는 "어떤 수를 나눌 수 있는 수"

인수는 "어떤 수를 구성하는 요소인 수"

라는 의미로 사용합니다.

 

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고등수학에서 나눗셈을 할 때는,

나눗셈(÷)이라는 "연산과정" 의 의미보다

"등호(=)" 의 의미에 좀 더 집중합니다.

 

 

<참고> [고1 수학/1. 다항식의 연산] - 나눗셈에 대한 등식

 

 

따라서, 자연스럽게

약수보다는 인수라는 단어를 많이 사용하게 됩니다.

 

 

 

인수정리

 

다시 등장한 나눗셈에 대한 항등식

 

 

그동안은 다항식의 나눗셈을 하면서

"나머지" 를 구하는 방법에 대해 계속 알아봤었죠.

 

 

하지만,  "나머지가 0"  혹은  "나누어 떨어졌다" 인 경우.

즉, 나머지인  $R(x)$ 이 사라지면 식은 이렇게 됩니다.

 

 

 

 

$A(x)$ 는  $B(x)$ 와  $Q(x)$ 의 곱으로 이루어졌다.

즉,  $B(x)$ 와  $Q(x)$ 는  $A(x)$ 의 인수입니다.

 

 

또, 이 식은 항등식이기 때문에

$B(x)$ 의 근을 이용해서,  $A(x)$ 근을 찾을 수 있습니다.

 

 

양변에  $B(x)$ 를  $0$이 되게 하는

$x$를 대입하는 것이죠.

 

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■ 예시

 

이차식  $x^2-5x+6$ 이  $(x-2)$ 로 나누어 떨어진다.

식으로 써보면, 이렇게 되겠죠.

 

 

오른쪽 식에서  $x=2$ 를 대입하면  $0$ 이기 때문에,

왼쪽 식에도  $x=2$ 를 대입하면  $0$ 일 거라는 것을

알 수 있습니다.

 

 

■ 인수정리

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인수정리를 이용해 미정계수 구하기

 

인수정리를 이용한 문제 유형입니다.

 

 

$A(x)$ 의 인수인  $B(x)$ 를 보면

쉽게 근을 찾을 수 있다는 점을 이용합니다.

 

 

■ 일차식인  $B(x)$ 로 나누어 떨어진 경우

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■ 이차식인  $B(x)$ 로 나누어 떨어진 경우

 

예제로 미정계수 찾는 문제를 하나 풀어볼까요?

 

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■ 예제

다항식  $x^3+x^2+ax+b$ 가  $x^2-1$로 나누어 떨어질 때,  상수  $a$와  $b$에 대하여  $a+b$ 를 구하시오.

(풀이)

식을 세워보면 이렇습니다.

$x^3+x^2+ax+b=(x^2-1)Q(x)$

$x^3+x^2+ax+b=(x+1)(x-1)Q(x)$

 

즉,  $x=-1$,  $x=1$ 을 대입해 보면

$-1+1-a+b=0$,  $1+1+a+b=0$ 임을 알 수 있습니다.

 

연립해서 풀어보면  $a=-1$,  $b=-1$ 이므로,

$a+b=-2$ 입니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음 대단원인 인수분해 단원에서는

인수정리를 이용한 인수분해 방법을

다룰 수 있을 거예요.