나머지정리1 [1차식/2차식으로 나눈 나머지]

■ 목표

- 나머지정리 이해하기

- 1차식/2차식으로 나눈 나머지 구하기

- 나머지정리 문제구조 살펴보기

 

 

 

 

나머지정리 개요

 

나머지를 가장 효율적으로 구하는 방법은

수치대입법을 활용하는 것이다.

끝.

 

■ 나머지  $R(x)$​ 구하기

 

 

①  $B(x)$ 의 차수를 보고,  $R(x)$ 의 차수를 구한다. ( $B(x)$ 의 차수 >  $R(x)$ 의 차수)

②  $R(x)$ 의 식을 세운다.

③  적절한 수치를 대입해서,  $R(x)$ 의 미정계수를 구한다.

 

결국 중요한 건 "어떤 수치를 대입하느냐" 인데,

바로,  "$B(x)$ 를  $0$ 으로 만드는  $x$" 입니다.

 

그러면 몫인  $Q(x)$ 를 완전히 무시한 채

$R(x)$ 만 구할 수 있습니다.

 

이제 다양한 상황에서 직접 나머지를 구해볼까요?

 

 

 

A. 1차식으로 나눈 나머지

 

예를 들어, (3차식)을 (1차식)으로 나누었습니다.

 

①  $R(x)$ 는 1차식보다 작은 상수항입니다.

②  $R(x)=a$ 라고 할 수 있습니다.

③ 적절한 수치를 대입하면, 미정계수를 구할 수 있습니다.

 

 

여기서는  $x=1$ 을 대입하면 됩니다.

그러면  $Q(x)$ 는 사라지고 나머지만 남습니다.

정리하면 다음과 같습니다.

 

■ 1차식으로 나눈 나머지 구하기

​

 

 

B. 2차식으로 나눈 나머지★

 

가장 많이 나오는

나머지정리 문제들의 대표유형입니다.

 

이번에는 (3차식)을 (2차식)으로 나누었습니다.

 

①  $R(x)$ 는 2차식보다 작은 1차식입니다.

②  $R(x)=ax+b$ 라고 할 수 있습니다.

 

그럼 이렇게 되죠.

 

 

이번엔 미정계수가  $a$ 와  $b$ 로 2개입니다.

그래서 필요한 식도 2개입니다.

 

③  $x=1$ 과  $x=2$ 를 대입합니다.

 

연립해서 풀면

$a=6$ 그리고  $b=-7$ 인 것을 알 수 있습니다.

즉,  $R(x)=6x-7$ 입니다.

 

정리하면 다음과 같습니다.

■ 2차식으로 나눈 나머지 구하기

 

 

 

나머지정리 문제의 구조

 

가만 보니 결국은  $B(x)$ 가  $R(x)$ 를 결정하고

$A(x)$ 는 굳이 식을 다 알려줄 필요도 없죠.

그냥 특정  $x$ 값이 들어갔을 때, "어떤 값이 나오는 지" 만 알면 됩니다.

 

그래서 문제는 보통 이렇게 출제됩니다.

 

■ 예제

Q.  $A(x)$ 를  $x-1$ 로 나눈 나머지는 3이고,  $x-2$ 로 나눈 나머지는 2이다.

      $A(x)$ 를  $x^2-3x+2$ 로 나눈 나머지  $R(x)$ 를 구하시오.

​

(1차식)으로 나눈 나머지와 (2차식)으로 나눈 나머지에 대한 개념이

잘 잡혀있다면 문제구조가 보일 거예요.

 

(풀이)

문제 첫 줄에서 두 가지 정보

$A(1)=3$ ,  $A(2)=2$ 임을 알 수 있습니다.

(1차식으로 나눈 나머지)

 

$x^2-3x+2$ 로 나눈 나머지  $R(x)$ 는 1차식이므로

$R(x)=ax+b$ 로 놓을 수 있습니다.

 

$R(1)=A(1)=3$ ,  $R(2)=A(2)=2$ 이므로

$a+b=3$ ,  $2a+b=2$

즉,  $a=-1$ ,  $b=4$ 입니다.

(2차식으로 나눈 나머지)

 

$R(x)=-x+4$

​

 

 

마무리

 

여기까지!

다음은 3차식으로 나눈 나머지도 알아보...기 전에

나누는 수가 바뀔 때, 몫과 나머지가 변하는 과정을 먼저 살펴볼게요!