항등식의 풀이 - B. 수치대입법

■ 목표

- 수치대입법으로 항등식 풀어보기

 

 

 

 

미정계수법 - B. 수치대입법

 

양 쪽의 두 식이 동일하다는 걸

단순히 모든 항을 비교하는 방법 말고

더 똑똑하게 이용할 수 있는 방법은 없을까요?

 

정답은 "있다" 입니다.

 

이 문장에 주목을 하면 됩니다.

 

 

이 말은  $x$ 에 원하는 숫자를 아무거나 넣어도

왼쪽 식과 오른쪽 식의 결과는 무조건 같을 것이라는 뜻입니다.

이것을 이용하는 방법이 수치대입법입니다.

 

이 방법은 굉장히 효율적인 풀이를 제공합니다.

항이 많아지고 식이 길어질수록 문제가 복잡해지는데,

마음 같아선  $x$ 대신 전부  $0$ 을 넣어버리고 싶어지죠..

 

근데 이것이 실제로 통합니다(!)

 

 

■ 예시1

간단한 원리를 살펴보면

 

 

이 식에서  $x$ 에  $0$ 을 대입하면 식은 이렇게 되죠.

 

 

아무것도 전개하거나 비교하지 않아도

특정 미정계수를 구할 수가 있습니다.

 

다만,  $x$ 에 대입할 수 있는 숫자가 너무 많다 보니

문제에 따라 어떤 숫자를 넣어야

딱 원하는 결과를 얻어낼 수 있는지

고민하는 연습이 많이 필요합니다.

 

 

■ 예시2

 

 

오른쪽 식의 구조를 잘 살펴보면

$x$ 에 제발 대입해달라고 외치는 숫자들이

딱 보일 수도 있습니다.

 

먼저,  $x$ 에  $1$ 을 대입해보면 다음 식을 얻을 수 있습니다.

 

 

$b=3$ 이라는 것을 바로 알 수 있습니다.

가장 중요한 핵심원리는

"$a$ 가 있는 항을 통째로  $0$ 으로 만들어버렸다"

라는 것이죠.

 

그렇다면 이번엔  $x$ 에  $2$ 를 대입해야겠죠?

 

 

이번엔  $b$ 가 사라지고  $a=2$ 임을 알 수 있습니다.

 

계수비교법에 비하면 엄청난 효율을 자랑합니다.

그래서 대부분의 문제들도 수치대입법으로 풀게끔 유도를 하는 편이죠.

다양한 유형의 문제들을 접해보면 좋을 것 같아요!

 

 

 

응용

 

수치대입법은 꽤 많이 활용이 되는 편입니다.

$x$ 를 대입하면 바로 계수를 구할 수 있다는

편리함 때문이죠.

 

 

일반적으로 차수가 높은 어떤 식이 있다고 했을 때,

문제에 상관없이 가장 많이 대입하게 되는 숫자들은

결국 가장 계산이 쉬운 숫자인  $0$,  $1$,  $-1$ 입니다.

 

이 숫자들을 대입했을 때의 결과가

어떤 정보를 주는지 미리 살펴보면 좋습니다.

 

①  $0$ 을 대입

상수항을 제외하고 모든 항이  $0$ 이 됩니다.

즉, 상수항을 바로 구해낼 수 있습니다.

 

②  $1$ 을 대입

이건 아주 특별한 정보를 줍니다.

모든  $x$ 가  $1$ 이 되면서, 계수들만 그대로 남게 되죠.

위 식에서는 이렇게 됩니다.

 

즉, 모든 계수의 합을 구할 수 있게 되죠.

 

③  $-1$ 을 대입

비슷하지만 약간 차이가 있습니다.

$x$ 의 짝수차항은 전부  $1$ 이 되고, 홀수차항은 전부  $-1$ 이 되죠.

위 식에서는 이렇게 됩니다.

 

 

계수들이 덧셈과 뺄셈 교대로 더해지게 됩니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음은 대표적인 항등식 중 하나인

나눗셈에 대한 항등식을 알아볼게요!