항등식의 풀이 - A. 계수비교법

■ 목표

- 항등식의 문제 구조 알아보기

- 미정계수법 중 계수비교법으로 풀어보기

 

 

 

 

항등식의 문제 구조

 

항등식은 등호(=)를 기준으로

완전히 동일한 식이 있는 등식입니다.

흐음 근데 이걸 어디에 써먹을까요?

 

 

만약 이 식이 방정식이라면

더이상 아무런 손을 댈 수가 없습니다.

$x$ 를 구해야하는데,  $a$ 도  $b$ 도 모르니 말이죠.

 

하지만,  "이 식은 항등식이다!" 라는 말이 있다면

이제, "양 쪽의 두 식이 동일하다"는 정보를 얻게 됩니다.

즉,  $x$ 를 구하는 대신

$a=2$ ,  $b=3$ 이라는 걸 알 수 있죠.

 

"항등식 문제를 푼다"는 건

두 식이 동일하다는 정보를 이용해

어떤 식의 정해지지 않은 계수들.

즉, "미정계수를 구하는 방법" 에 대한 문제가 출제됩니다.

이를 전문용어로는 미정계수법이라고 해요.

 

그래서 주어진 식이 방정식인지 항등식인지를

알아야만 푸는 방법을 알 수 있겠죠?

 

근데 보통은 그냥 "이건 항등식이다!" 이렇게 알려주진 않고,

특징을 설명하는 문장으로 힌트를 줍니다.

 

 

 

 

이렇게 말이죠.

문제를 많이 풀다보면 흔하게 볼 수 있는 문장들이예요.

 

그럼 이제 실제로 푸는 방법에 대해 알아볼까요?

 

 

 

미정계수법 - A. 계수비교법

 

미정계수를 구하는 방법은 어떤 것이 있을까요?

두 가지입니다.

바로 계수비교법과 수치대입법이예요.

 

계수비교법은 아주 단순한 방법입니다.

말그대로 그냥 왼쪽, 오른쪽 번갈아보며

동류항의 계수를 비교하는 거죠.

 

다만, 문제를 비교하기 쉽게 내주지는 않을 겁니다.

그래서 모든 항이 잘 비교가능하도록

① 전부 전개하고, ② 동류항을 정리

해주어야 합니다.

 

즉, 조금 귀찮다는 뜻이죠.

 

 

■ 예시

 

이런 문제가 있습니다.

계수비교법으로 풀기 위해서는

왼쪽의 식처럼 2차항과 1차항, 상수항이

명확히 보이도록 정리를 해주어야합니다.

 

 

그러면 2차항 계수를 비교해서  $a=2$ 이고,

1차항을 비교  $(-2a+b)=-1$ 또는

상수항을 비교  $a-2b=-4$ 해서,  $b=3$ 이라는 것을 알 수 있죠.

 

물론, 전개의 고수라면 굳이 다 전개하지 않아도

2차항, 1차항 또는 상수항만을 추려내는 것도 가능하겠죠?

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음은 두번째 미정계수법인 수치대입법을 알아볼게요!