복소수의 곱셈[심화](3/3) - 기하학적 표현

■ 목표

- $i$의 거듭제곱의 표현

- 복소수의 거듭제곱의 표현

- 복소수의 곱셈과 나눗셈의 표현

 

 

 

 

 

 $i$의 거듭제곱의 표현

 

지난번에 두 가지 내용에 대해 배웠습니다.

① 복소수를 복소평면에 표현하기

② 직교좌표를 극좌표로 표현하기

 

 

이를 통해  "$i$의 거듭제곱" 이 갖는

기하학적 의미에 대해 알아보려고 해요.

 

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허수단위  $i$는  $0+1·i$

즉, 실수부가  $0$, 허수부가  $1$인 복소수이므로,

복소평면 위의 점 $(0, 1)$에 대응됩니다.

 

 

마찬가지로,

$i^2=-1=-1+0·i$   →   점 $(-1, 0)$

$i^3=-i=0-1·i$   →  점 $(0, -1)$

$i^4=1=1+0·i$   →  점 $(1, 0)$

이렇게 대응되죠.

 

 

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이 직교좌표를

원점으로부터 거리와 각도를 이용해

극좌표로 바꾸면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

이때, 신기하게도

네 점은 원점으로부터의 거리가 모두 $1$이고,

각도만  $90^\circ$ 씩 차이가 난다는 걸 알 수 있죠.

 

 

그래서,  $i\times i=i^2$ 이라는 건,

복소평면에서는

$(1, 90^\circ)\times(1, 90^\circ)=(1, 180^\circ)$

라는 의미입니다.

 

 

 

 

즉,  $i$의 거듭제곱의 기하학적 표현이란

$i$ 를 곱할 때 마다  $90^\circ$ 씩 회전하는 회전이동을 의미합니다.

 

 

 

복소수의 거듭제곱의 표현

 

이번엔 일반적인  "복소수의 거듭제곱" 에서도

회전이동의 의미를 갖는지 확인해보려 합니다.

 

 

■ 예시

복소수  $z=1+i$ 를 복소평면에 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

이제, 거듭제곱입니다.

$z^2=(1+i)^2=2i$

$z^3=(1+i)^3=2i(1+i)=-2+2i$

 

 

좌표로 표현하면,

직교좌표 $(0, 2)$  →  극좌표 $(2, 90^\circ)$

직교좌표 $(-2, 2)$  →  극좌표 $(2\sqrt{2}, 135^\circ)$

이를 복소평면에 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

각도가  $45^\circ$ 씩 증가할 뿐만 아니라,

원점으로부터의 거리도  $\sqrt{2}$배가 되는 것을 확인할 수 있죠.

이 성질을 다음과 같이 한 줄로 정리할 수 있습니다.

 

 

■ 복소수의 거듭제곱의 기하학적 표현

 

​

복소수를 한 번씩 곱할 때마다,

거리는 계속 곱해지고, 각도는 계속 더해지는 거죠.

 

 

※ 이때, 원점으로부터의 거리가  $1$ 인 경우,

거듭제곱을 해도 거리는  항상  $1$ 이 됩니다.

 

 

이 경우에 대해 공식으로 정리된 것이

"드 무아브르 공식(de Moivre’s formula)" 입니다.

삼각함수를 이용한 일반각에 대한 이해가 필요하기 때문에

여기서는 넘어가도록 할게요.

 

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■ 예제

$z_1=\frac{1+i} {\sqrt{2}}$,  $z_2=\frac{1+\sqrt{3}i} {2}$ 라 할 때,  ${z_1}^n={z_2}^n$ 을 만족시키는

가장 작은 자연수  $n$ 의 값을 구하시오.

(풀이)

정답 : $n=24$

 

두 복소수의 극좌표를 구해보면 다음과 같습니다.

$z_1=(1, 45^\circ)$, $z_2=(1, 60^\circ)$

 

두 복소수 모두 원점과의 거리가  $1$ 이기 때문에,

거듭제곱을 해도 거리는 멀어지지 않고 회전이동만 하게 됩니다.

 

 

여기서  ${z_1}^8=1$ 이고, ${z_2}^6=1$ 이 되는 것을 알 수 있습니다.

따라서,  $8$ 과  $6$ 의 최소공배수인

$n=24$ 일 때 처음으로 같아지게 됩니다.

 

 

 

복소수의 곱셈과 나눗셈의 표현

 

극좌표의 회전이동을 이용한 복소수의 거듭제곱은

특수각이라는 특정상황에서 꽤 큰 도움이 됩니다.

 

 

서로 다른 두 복소수의 곱셈과 나눗셈에서도

같은 원리가 적용이 되는데,

거리는 곱하거나 나누고, 각도는 더하거나 빼주면 됩니다.

 

 

■ 복소수의 곱셈과 나눗셈의 기하학적 표현

 

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■ 예시1

 

 

■ 예시2

 

 

 

마무리

 

정확한 증명을 제외하고

추상적으로 보이는 성질로만 살펴본 내용이라 많이 어려웠을 수도 있어요.

그래도 여기까지 열심히 봤다면

분명 큰 도움이 되었을 거라 생각해요!