복소수의 곱셈[심화](2/3) - 좌표계(Coordinate System)

■ 목표

- 직교좌표계(Orthogonal Coordinate System)

- 극좌표계(Polar Coordinate System)

- 직교좌표의 극좌표 변환

 

 

 

 

 

직교좌표계(Orthogonal Coordinate System)

 

좌표계란 어떤 위치를 숫자로 표현하기 위한 방법입니다.

우리에게 가장 익숙한 건 데카르트 좌표계로,

서로 수직인  $x$ 축과  $y$ 축의 좌표를 이용해서

위치를 ($x$, $y$)로 나타내는 방법입니다.

 

 

데카르트 좌표계

프랑스의 수학자 데카르트가

천장에 붙은 파리 위치를 어떻게 나타낼 지 생각하다가 발명했다고 하죠.

 

 

각 상황에 따라 적합한 여러 종류의 좌표계가 있지만,

그 중 서로 수직인 축을 이용하는 모든 좌표계를 직교좌표계라고 합니다.

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직교좌표계에서 두 점을 비교할 때에는

"축을 따라 얼마나 이동했는지" 를 보면 됩니다.

 

 

 

 

점 $(1,2)$에서  점 $(3,1)$까지는 

$x$축에 평행하게 오른쪽으로  $+2$ 만큼,

$y$축에 평행하게 아래로  $-1$ 만큼 이동했다는 것을 알 수 있죠.

이를 평행이동이라고 합니다.

 

 

 

극좌표계(Polar Coordinate System)

 

극좌표계는 각도를 이용해 위치를 나타내는 좌표계입니다.

우선 좌표평면에서 각도를 어떻게 재는지부터 알아야겠죠?

 

 

 

 

좌표평면에서는

"$x$축의 양의 방향" 에서 시작해,

반시계방향으로 각도를 잽니다.

※ 만약, 시계방향으로 각도를 잰다면 각도를 마이너스로 표현합니다.

 

 

이를 이용해서 모든 점을

원점으로부터의 거리($r$)와 각도($\theta$)를 이용해

$(r, \theta)$ 로 표현할 수 있습니다.

이를 극좌표라고 합니다.

 

 

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극좌표계에서 두 점을 비교할 때에는

거리와 각도의 변화를 살펴봐야 합니다.

 

 

 

 

점 $(4, 30^\circ)$에서  점 $(2, 60^\circ)$까지는

원점으로부터의 거리가 절반,

각도는 $2$배가 되었다는 것을 알 수 있죠.

이를 회전이동이라고 합니다.

 

 

 

직교좌표의 극좌표 변환

 

방법만 다를 뿐 모든 점은

직교좌표로도 극좌표로도 표현이 가능합니다.

 

 

예를 들어, 직교좌표 $(1, 1)$은

극좌표 $(\sqrt 2, 45^\circ)$와 같습니다.

 

 

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하지만, 모든 직교좌표를 쉽게 극좌표로 바꿀 수 있는 것은 아닙니다.

정확한 각도를 구하는 것이 어렵기 때문이죠.

 

 

예를 들어, 직교좌표 $(1, 2)$ 같은 경우

 

 

 

원점으로부터의 거리가  $\sqrt 5$ 라는 건 구할 수 있지만,

각도를 구하기 위해서는

 

가 되는  $\theta$ 를 구해야하는데 쉽지않죠.

 

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그럼에도 극좌표가 중요한 이유는

직교좌표에서는 보이지 않는

두 점 사이의 관계를 찾아낼 수 있기 때문이죠.

 

 

 

 

같은 점이더라도

직교좌표  $(1, \sqrt3)$, $(\sqrt3, 1)$ 의 평행이동으로 보는 것보다,

극좌표  $(2, 60^\circ)$, $(2, 30^\circ)$ 의 회전이동으로 보았을 때 훨씬 단순하다는 것이 보이죠.

 

 

특히, 각도를 바로 알 수 있는

특수각($30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ 등)의 경우 극좌표를 활용하면 좋습니다.

 

 

 

마무리

 

교육과정에서 조금 벗어났지만,

준비과정은 마쳤습니다.

다음 시간엔 복소평면을 극좌표계로 바꾸었을 때,

복소수의 연산이 어떤 의미를 가지는지 살펴볼게요!