조건을 만족하는 복소수 찾기[심화](1/2) - 켤레복소수의 성질 이용

■ 목표

- $f(z)$ 가 실수일 조건

- A. $f(z)$ 를 하나의 복소수로 표현하기 

- B. 켤레복소수의 성질 이용하기

 

 

 

 

 

$f(z)$ 가 실수일 조건

 

특정  $z$ 를 찾아내는 유형에 대해 2가지를 배웠습니다.

 

 

"$z$ 가 실수" 라는 조건이 있다면, 허수부분인  $b=0$ 임을 이용하고,

 

조건을 만족하는 복소수 찾기

 

 

"$z^2-3z=1+i$" 라는 식이 있다면,

실수부분, 허수부분을 비교해서  $z$ 를 찾아낼 수 있었죠.

 

식을 만족하는 복소수 찾기

 

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이번 유형은 마치 두 유형을 섞은 듯한

복잡한 조건이 등장합니다.

 

 

$f(z)$ 가 실수이기 때문에, 허수부분은  $0$ 이지만,

$f(z)$ 가 복잡하기 때문에, 허수부분을 바로 찾아내기는 쉽지 않죠.

예를 들면, 다음과 같습니다.

 

 

■ 예시

 

이제 이 문제를 3가지 방법으로 풀어보려고 합니다.

 

 

 

A. $f(z)$ 를 하나의 복소수로 표현하기

 

$z=a+bi$ 를 대입함으로써

주어진 식의 실수부분과 허수부분을 찾아보려고 합니다.

 

 

■ 예시

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① $z=a+bi$ 대입

 

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② 분모의 실수화

 

이게 맞나 싶은 순간이 한두 번이 아닙니다만,

어쨌든 분모의 허수를 없애고

실수부분과 허수부분을 구분해 냈습니다.

 

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③ 허수부분=0

 

어차피 분모는 확실히 양수이므로,

분모만  $0$ 이 되면 됩니다.

 

 

문제에서  $z=a+bi$ 는 허수이므로,

$b$ 는  $0$ 이 아닙니다.

 

 

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따라서, 구하고자 하는 답은 이렇게 됩니다.

 

 

 

B. 켤레복소수의 성질 이용하기

 

켤레복소수는 허수부분의 부호만 반대입니다.

그러니 어떤 실수의 켤레복소수는 아무것도 변하는 게 없죠.

예를 들면,  $\overline{3}=3$ 입니다.

 

 

■ 예시

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① $\overline{f(z)}=f(z)$

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② 식을 정리한다.

 

 

잉? 벌써 끝입니다.

압도적인 풀이과정의 차이가 보이죠.

 

 

 

마무리

 

특정  $z$ 를 구해야 하는 문제에서

$z=a+bi$ 를 무작정 대입하는 것은 좋은 방법이 아닙니다.

왜 이 문제를 냈을까?

어떤 성질을 이용하면 좋을까?

고민해 보면 더 좋은 풀이가 생각날 수 있답니다.

 

 

다음엔 한 가지 또 다른 관점에서의 풀이를 보여드릴게요!