식을 만족하는 복소수 찾기

■ 목표

- 복소수 방정식 풀기

- A. 식을 하나의 복소수로 만들기

- B. 식을 하나 더 만들기

 

 

 

 

 

복소수 방정식 풀기

 

주어진 식을 만족하는 복소수 찾기.

이것은 방정식을 푼다는 것입니다.

 

 

예를 들어,  $2x-4=0$ 라는 식을 만족하는  $x$ 는  $2$ 입니다.

그  해를 구하는 것이 방정식의 목표이죠.

 

 

복소수 방정식도 똑같은데,

실수인  $x$ 에서 복소수인  $z$ 로 확장된 것뿐입니다.

 

 

예를 들어,  $2z+i=4-3i$ 라는 식이라면,

$z=2-2i$ 라는 것을 생각보다 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

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하지만, 복소수 방정식의 문자가  $z$ 뿐 아니라,

그 켤레복소수인  $\overline{z}$ 까지 함께 나온다면 어떨까요?

 

 

 

 

이렇게 말이죠.

이제 이 문제를 두 가지 방법으로 풀어보려고 합니다.

 

 

 

A. 식을 하나의 복소수로 만들기

 

$z$ 와  $\overline{z}$ 가 있으면,

마치 문자가 두 개인 것 같지만 둘은 한 켤레죠?

$z=a+bi$ 라면,  $\overline{z}=a-bi$ 입니다.

이 방법의 핵심은 대입입니다.

 

 

■ 예시

 

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① $z$ 와  $\overline{z}$ 에 대입하기

 

 

전개하고 나서,

실수부분과 허수부분을 따로 정리하면

다음과 같습니다.

 

 

 

 

왼쪽의 식도 하나의 복소수가 되었습니다.

실수부분은  $3a$ 이고,

허수부분은  $b$ 이죠.

 

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② 두 복소수가 같을 조건

 

양 쪽의 두 복소수가 같다는 건

실수부분과 허수부분이 같다는 것이죠.

 

 

 

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이 방법은 꽤 단순한 방법입니다.

하지만, 식이 좀 더 복잡하거나 어려워지면,

전개나 계산을 많이 해야 해서 실수가 날 수도 있습니다.

 

 

■  A. 식을 하나의 복소수로 만들기

① 주어진 식에 대입하기

 

② 두 복소수가 같다 = 실수부분과 허수부분이 같다

 

 

 

B. 식을 하나 더 만들기

 

아주 참신한 방법이라 생각할 수도 있습니다.

근데 왼쪽도 오른쪽도 둘 다 같은 복소수라면,

그 둘의 켤레복소수 또한 같겠죠?

이 방법의 핵심은 켤레복소수 만들기입니다.

 

 

■ 예시

 

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① 주어진 식의 켤레복소수 구하기

 

 

이제 하나의 식을 더 사용할 수 있게 됩니다.

 

 

 

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② 두 식을 덧셈, 뺄셈하기

 

먼저, 덧셈입니다.

 

 

 

다음은 뺄셈입니다.

 

 

 

여기서 얻게 된  $z+\overline{z}$ 와  $z-\overline{z}$ 는

굉장히 단순한 수가 된다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

 

 

따라서, 쉽게  $z$ 를 구할 수 있습니다.

 

 

 

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조금 어렵고 낯설긴 해도

켤레복소수의 성질을 제대로 활용한 방법이라

어려운 문제를 쉽게 풀 수 있는 핵심이 됩니다.

 

 

■  B. 식을 하나 더 만들기

① 주어진 식의 켤레복소수 구하기

 

② 두 식을 덧셈, 뺄셈하기

​

 

 

■ 예제

복소수  $z$ 와  그 켤레복소수  $\overline{z}$ 에 대하여

$(1+i)z-2i\overline{z}=4-2i$ 가 성립할 때, 복소수  $z$ 를 구하시오.

(풀이)

A.

$(1+i)(a+bi)-2i(a-bi)=4-2i$

$a+bi+ai-b-2ai-2b=4-2i$

$(a-3b)+(-a+b)i=4-2i$

 

$a-3b=4$ 이고, $-a+b=-2$ 이므로,

$a=1$,  $b=-1$

$\therefore z=1-i$

 

B.

$(1+i)z-2i\overline{z}=4-2i$

$(1-i)\overline{z}-2iz=4+2i$

 

$(z+\overline{z})+3i(z-\overline{z})=8$

$2a+3i(2bi)=8$

$a-3b=4$

 

$(z-\overline{z})-i(z+\overline{z})=-4i$

$2bi-2ai=-4i$

$-a+b=-2$

 

$a=1$,  $b=-1$

$\therefore z=1-i$

 

 

 

마무리

 

무조건 대입하고, 계산만하면 된다 외우는 학생들이 많은 유형이죠.

하지만, 여러 가지 방법을 고민해볼 수 있는 좋은 유형이기도 하니,

많이 연습해보세요!