본문 바로가기
공통수학1 [고1]/4. 복소수

식을 만족하는 복소수 찾기

by Hamston 2023. 5. 6.
반응형

 목표

- 복소수 방정식 풀기

- A. 식을 하나의 복소수로 만들기

- B. 식을 하나 더 만들기

 

 

식을 만족하는 복소수 썸네일

 

 

 

복소수 방정식 풀기

 

주어진 식을 만족하는 복소수 찾기.

이것은 방정식을 푼다는 것입니다.

 

 

예를 들어,  2x4=0 라는 식을 만족하는  x 는  2 입니다.

그  해를 구하는 것이 방정식의 목표이죠.

 

 

복소수 방정식도 똑같은데,

실수인  x 에서 복소수인  z 로 확장된 것뿐입니다.

 

 

예를 들어,  2z+i=43i 라는 식이라면,

z=22i 라는 것을 생각보다 쉽게 계산할 수 있습니다.

 


 

하지만, 복소수 방정식의 문자가  z 뿐 아니라,

그 켤레복소수인  z 까지 함께 나온다면 어떨까요?

 

 

 

 

이렇게 말이죠.

이제 이 문제를 두 가지 방법으로 풀어보려고 합니다.

 

 

 

A. 식을 하나의 복소수로 만들기

 

z 와  z 가 있으면,

마치 문자가 두 개인 것 같지만 둘은 한 켤레죠?

z=a+bi 라면,  z=abi 입니다.

이 방법의 핵심은 대입입니다.

 

 

예시

 


 

z 와  z대입하기

 

 

전개하고 나서,

실수부분허수부분을 따로 정리하면

다음과 같습니다.

 

 

 

 

왼쪽의 식도 하나의 복소수가 되었습니다.

실수부분은  3a 이고,

허수부분은  b 이죠.

 


 

② 두 복소수가 같을 조건

 

양 쪽의 두 복소수가 같다는 건

실수부분허수부분이 같다는 것이죠.

 

 

 


 

이 방법은 꽤 단순한 방법입니다.

하지만, 식이 좀 더 복잡하거나 어려워지면,

전개나 계산을 많이 해야 해서 실수가 날 수도 있습니다.

 

 

  A. 식을 하나의 복소수로 만들기

① 주어진 식에 대입하기

 

② 두 복소수가 같다 = 실수부분허수부분이 같다

 

 

 

B. 식을 하나 더 만들기

 

아주 참신한 방법이라 생각할 수도 있습니다.

근데 왼쪽도 오른쪽도 둘 다 같은 복소수라면,

그 둘의 켤레복소수 또한 같겠죠?

이 방법의 핵심은 켤레복소수 만들기입니다.

 

 

예시

 


 

① 주어진 식의 켤레복소수 구하기

 

 

이제 하나의 식을 더 사용할 수 있게 됩니다.

 

 

 


 

② 두 식을 덧셈, 뺄셈하기

 

먼저, 덧셈입니다.

 

 

 

다음은 뺄셈입니다.

 

 

 

여기서 얻게 된  z+z  zz

굉장히 단순한 수가 된다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

 

 

따라서, 쉽게  z 를 구할 수 있습니다.

 

 

 


 

조금 어렵고 낯설긴 해도

켤레복소수의 성질을 제대로 활용한 방법이라

어려운 문제를 쉽게 풀 수 있는 핵심이 됩니다.

 

 

  B. 식을 하나 더 만들기

① 주어진 식의 켤레복소수 구하기

 

② 두 식을 덧셈, 뺄셈하기

 

 

예제

복소수  z 와  그 켤레복소수  z 에 대하여

(1+i)z2iz=42i 가 성립할 때, 복소수  z 를 구하시오.

(풀이)

더보기

A.

(1+i)(a+bi)2i(abi)=42i

a+bi+aib2ai2b=42i

(a3b)+(a+b)i=42i

 

a3b=4 이고, a+b=2 이므로,

a=1b=1

z=1i

 

B.

(1+i)z2iz=42i

(1i)z2iz=4+2i

 

(z+z)+3i(zz)=8

2a+3i(2bi)=8

a3b=4

 

(zz)i(z+z)=4i

2bi2ai=4i

a+b=2

 

a=1b=1

z=1i

 

 

 

마무리

 

무조건 대입하고, 계산만하면 된다 외우는 학생들이 많은 유형이죠.

하지만, 여러 가지 방법을 고민해볼 수 있는 좋은 유형이기도 하니,

많이 연습해보세요!

 

반응형

댓글