조건을 만족하는 복소수 찾기

■ 목표

- 조건을 만족하는 $z$ 찾기

- $z$가 실수일 조건

- $z$가 순허수일 조건

 

 

 

 

 

조건을 만족하는 복소수 $z$ 찾기

 

어떤 모르는 복소수를 문자로 놓을 때

$z$ 를 사용하기로 했죠.

 

 

그리고 복소수는 실수부분과 허수부분으로 나누어져 있으니,

$z=a+bi$ 이렇게 놓을 수 있을 겁니다.

 

 

이제 조건을 하나 줄 테니

$z$ 가 어떤 수인지 맞춰보는 문제를 줄 겁니다.

그리고 조건은 보통

$z$ 가 실수인지 순허수인지를 알려주는 조건인 경우가 많습니다.

 

 

 

$z$가 실수일 조건

 

어떤 복소수  "$z$ 가 실수" 라는 뜻은

"$z$ 의 허수부분이 $0$" 이라는 뜻입니다.

$z=a+bi$ 라고 하면  $b=0$ 이고, 실수부분만 남는다는 뜻이죠.

 

 

 

■ 예제1

$z=3+(2-x)i$ 에 대해서,  "$z$ 가 실수" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

(정답)

$x=2$

 

 

쉽죠?

그래서 이 조건을 조금 다르게 표현해 볼 겁니다.

 

 

 

■ 예제2

$z=3+(2-x)i$ 에 대해서,  "$z^2$ 이 양의 실수" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

 

 

사실 아무것도 달라진 게 없는 문제입니다.

왜 그럴까요?

$z=a+bi$ 를 제곱하면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

"$z^2$ 이 양의 실수" 라고 했습니다.

우선 실수라면 허수부분이 $0$ 이겠죠.

$2ab=0$ 이므로,  $a$ 또는  $b$ 가 $0$ 입니다.

 

 

양의 실수라고 했는데,  $a=0$ 이라면,

$z^2=-b^2$ 이 되고 음의 실수가 됩니다.

따라서,  $b=0$ 이고,  $z^2=a^2$ 이라는 뜻이죠.

 

 

결국,  "$z$ 가 실수" 라는 말과 똑같습니다.

 

 

 

■ 예제3

$z=3+(2-x)i$ 에 대해서,  "$z=\bar{z}$" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

 

 

이번엔 켤레복소수를 이용한 조건입니다.

 

 

 

 

이 두 복소수가 같으려면,  $b=0$ 이어야만 합니다.

즉, "$z$ 가 실수" 라는 말과 똑같습니다.

 

 

정리해 보면 다 똑같은 문제를

조건만 바꿔서 3가지 버전으로 낸 거죠.

그래서 우리는 "조건이 결국 무슨 뜻인지" 를 해석하는 연습이 필요합니다.

 

 

■ $z$가 실수일 조건

​

 

 

$z$가 순허수일 조건

 

이번엔 복소수  "$z$ 가 순허수" 라는 조건입니다.

"$z$ 의 실수부분이 $0$" 이라는 뜻이겠죠.

$z=a+bi$ 라고 하면  $a=0$ 이고, 허수부분만 남습니다.

 

 

■ 예제1

$z=(x-3)-2i$ 에 대해서,  "$z$ 가 순허수" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

(정답)

$x=3$

 

 

 

■ 예제2

$z=(x-3)-2i$ 에 대해서,  "$z^2$ 이 음의 실수" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

 

 

마찬가지로,  $z^2$ 을 살펴볼까요.

 

 

 

 

이번에는 음의 실수가 되어야 하므로,

$a=0$ 이어야만 하죠.

즉,  "$z$ 가 순허수" 라는 말과 똑같습니다.

 

 

 

■ 예제3

$z=(x-3)-2i$ 에 대해서,  "$z=-\bar{z}$" 일 때,  $x$ 를 구하시오.

 

 

조건을 살펴보면

 

 

 

 

결국,  $a=0$ 이고,

"$z$ 가 순허수" 라는 말이죠. 

 

 

 

■ $z$가 순허수일 조건

​

 

 

마무리

 

$z$ 를 결정짓는 여러 조건들 중에서

가장 기본이 되는 것들을 정리해 보았어요.

다음엔 비슷하지만 조금 심화된 유형으로 찾아올게요!