켤레복소수의 정의와 성질

■ 목표

- 켤레복소수의 정의

- 켤레복소수의 성질

 

 

 

 

 

켤레복소수

 

켤레라는 단어 자체는 많이 들어봤을 거예요.

신발 한 켤레, 양말 한 켤레.

 

 

켤레복소수란 주어진 어떤 복소수의 나머지 한 짝을 말하며

실수부분은 같지만 허수부분의 부호만 반대인 복소수입니다.

예를 들어,  $1+i$ 와  $1-i$ 처럼 말이죠.

 

 

켤레복소수는 복소수 위에 줄을 그은 "바(bar)"라는 기호를 사용하여 나타냅니다.

즉, 복소수  $z$ 의 켤레복소수를  $\overline{z}$ 라고 쓰고, "제트바" 라고 읽습니다.

 

 

 

 

예를 들어보면,

$\overline{1+i}=1-i$

$\overline{-\sqrt{2}-3i}=-\sqrt{2}+3i$

$\overline{2i+1}=-2i+1$

 

 

이렇게 켤레복소수를 구할 수 있죠.

 

 

 

켤레복소수의 성질

 

굳이 "허수부분의 부호만 반대" 인 복소수가 왜 필요할까요?

복소수와 그의 켤레복소수는

계산이 가장 편리한 관계이기 때문입니다.

 

 

$(1+i)+(1-i)=2$

$(1+i)(1-i)=2-i+i-i^2=3$

이렇게 둘을 더하거나 곱하면 허수가 사라지고 실수가 됩니다.

 

 

■ 켤레복소수와의 합과 곱

 

 

$z=a+bi$ 라 하면,  $z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$ 입니다.

$z\times\overline{z}=(a+bi)\times(a-bi)=a^2+b^2$ 이죠.

즉, 어떤 복소수든 켤레복소수와의 합과 곱은 무조건 실수가 됩니다.

 

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다음은 켤레복소수와 계산과의 성질입니다.

 

 

■ 켤레복소수의 성질

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언뜻 보면 당연해 보이는 것도 있고, 쉽게 증명할 수 있는 것도 있습니다.

대신 조금 복잡할 수도 있는 ③의 증명만 살펴볼게요.

$z_1 = a+bi$,  $z_2 = c+di$ 라 하고 양변을 구해보면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

결국, 계산을 먼저 한 후 켤레복소수를 구하든,

켤레복소수를 먼저 구한 다음 계산을 하든,

"차이가 없다" 는 것이 결론입니다.

 

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마지막으로 복소수  $z$ 가 실수나, 순허수라면 켤레복소수는 어떻게 될까요?

 

 

■ $z$ 가 실수나 순허수인 경우

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$z$ 가 실수라는 뜻은  $z=a+bi$ 에서  $b=0$ 이므로,

$z=a$ 이고,  $\overline{z}=a$ 가 됩니다.

$z$ 가 순허수라는 뜻은  $z=a+bi$ 에서  $a=0$ 이므로,

$z=bi$ 이고,  $\overline{z}=-bi$ 가 됩니다.

 

 

특히, 이 내용은 문제에서  $z$ 가 순허수라는 걸 알려주는 대신,

$\overline{z}=-z$ 처럼 조건으로 알려주는 경우가 많아

무슨 뜻인지를 잘 해석해내는 것이 중요합니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

켤레복소수를 살펴봤습니다.

복소수의 계산 문제들은 복잡해보이지만,

생각보다 켤레복소수를 이용해서 간단하게 푸는 문제도 많답니다.