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공통수학1 [고1]/4. 복소수

복소수의 사칙연산과 거듭제곱

by Hamston 2023. 4. 8.
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 목표

- 복소수의 사칙연산

- 복소수의 거듭제곱

 

 

 

 

 

복소수의 사칙연산

 

이제 두 복소수를 사칙연산(+,,×,÷) 해볼 텐데,

복소수에 실수부분허수부분이 있다는 사실만 잘 알고 있으면 됩니다.

 

 

복소수

 

 

그럼 사실  "복소수의 계산" 은 제곱근(루트)을 처음 배웠을 때 했던

"무리수의 계산" 과 똑같다는 걸 알 수 있죠.

i=1 이므로, 허수도 결국은 제곱근이니까요.

 


 

 덧셈과 뺄셈

 

핵심은 끼리끼리입니다.

실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리.

 

 

복소수의 덧셈과 뺄셈

 

 

예를 들어, 무리수에서

(2+2)+(332)=522 인 것처럼,

 

 

복소수에서는

(2+i)+(33i)=52i 이렇게 덧셈이 이루어집니다.

어렵지 않죠?

 


 

곱셈

 

두 복소수가 모두 실수부분, 허수부분을 가지기 때문에

곱할 때는 분배법칙을 사용해야 합니다.

 

 

 

 

이때, 가장 중요한 것은  i2 입니다.

처음에 우리가  "제곱해서  1 이 되는 수" 를  i 라 하기로 했죠.

따라서,  i2=1 입니다.

 


 

나눗셈

 

무리수의 나눗셈에서  "분모를 유리화" 하는 과정과 똑같습니다.

 

 

복소수의 나눗셈

 

 

합차공식을 사용해서 분모에 있는 허수가 사라지게 해 주면 됩니다.

이 과정을  "분모의 실수화" 라고 합니다.

 

 

 

복소수의 거듭제곱

 

이번엔 허수단위인  i 를 계속 곱해보려고 합니다.

 

 

i의 거듭제곱

 

 

i2=1 이라는 중요한 허수의 성질로부터

i4=1 임을 찾아낼 수 있습니다.

 

 

즉, 허수단위인  i 는 아무리 많이 곱해도 결국은

"i,1,i,1 중의 하나" 가 됩니다!

이 성질을 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

복소수의 거듭제곱

복소수의 거듭제곱
복소수의 거듭제곱

 

예를 들면,

i10=i4×i4×i2=1×1×(1)=1 이고,

i100=(i4)25=125=1 이 되는 거죠.

 

 

이처럼 복소수의 거듭제곱은

차수가 높아도, 보기보다 쉽게 풀리는 문제들이 많습니다.

 

 

 

예제

Q. 다음 식을 간단히 하시오.

     i+i2+i3++i100

(풀이)

더보기

i+i2+i3+i4=i1i+1=0

i5+i6+i7+i8=i+i2+i3+i4

                                  =i1i+1

                                  =0

따라서, 0+0+0++0=0

 

 

 

마무리

 

복소수의 기본적인 연산들에 대해 알아봤어요.

원래 연산은 원리가 어렵다기보단

실수 없이 잘 해내는 것이 중요하다 보니 많은 연습을 통해 익숙해지는 것이 중요할 거예요.

여기까지!

 

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