복소수의 곱셈[심화](1/3) - 복소평면(Complex Plane)

■ 목표

- 복소평면(Complex Plane)

- 복소수와 평면의 대응

 

 

 

 

 

개요

 

이번 내용의 최종목표는

"복소수의 곱셈의 기하하적 표현"입니다.

 

 

2015 교육과정 기준으로 고급수학I에 포함된 내용이라 접하기 쉬운 내용은 아니겠지만,

복소수의 곱셈원리에 대해 더 깊게 알 수 있는 좋은 내용입니다.

 

 

복소수를 나타낼 수 있는 평면과

평면좌표를 해석하는 두 가지 방법,

이를 통해 복소수의 곱셈원리까지 천천히 알아보도록 할게요.

 

 

 

복소평면(Complex Plane)

 

우리는 많은 계산과 문제들을 해결하기 위해 필요한 숫자들을

모두 찾아내면서 확장시켜 왔습니다.

 

 

<참고>

수 체계의 확장

 

 

그 과정에서 찾아낸 숫자들을 하나씩 선 위에 새겨 놓으면서,

마침내 모든 실수로 수직선 하나를 가득 채울 수 있다는 걸 알았죠.

 

 

 

하지만, 이후에 허수의 존재를 발견하면서 숫자는 복소수까지 확장됩니다.

그러고나니 복소수를 넣을 공간은 더 이상 수직선에 남아있지 않았죠.

 

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복소수를 한번 살펴볼까요?

 

 

복소수는 실수부분과 허수부분으로 이루어져 있고,

$a$ 와  $b$ 는 모든 실수가 될 수 있습니다.

 

 

따라서, 복소수의 개수는

(실수 개수) $\times$ (실수 개수) 만큼 있고,

복소수를 전부 표현하려면 수직선이 두 개 필요합니다.

 

 

그렇게 만들어진

실수부분을 나타내는 수직선을  $x$ 축,

허수부분을 나타내는 수직선을  $y$ 축으로 한

이 평면을 복소평면 혹은 가우스평면이라고 합니다.

 

 

 

 

 

복소수와 평면의 대응

 

이제 모든 복소수를 복소평면에 나타낼 수 있습니다.

 

 

예를 들어,  $z=1+2i$ 라는 복소수는

실수부분이  $1$, 허수부분이  $2$ 이므로,

복소평면 위의 점 $(1,2)$ 에 대응된다고 할 수 있죠.

 

 

 

 

만약, 실수부분이  $0$ 인 순허수라면, 전부  $y$ 축 위에 대응되고,

허수부분이  $0$ 인 실수라면, 전부  $x$ 축 위에 대응됩니다.

 

 

 

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한 가지 주의할 점은

복소평면은  "복소수들을 위치로 표현한 것" 일 뿐,

실제 평면처럼 두 점 사이의 거리를 계산하거나

대소비교를 할 수는 없다는 것입니다.

 

 

 

 

$1+3i$ 가  $1+2i$ 보다 위에 있다고 해서 더 크다는 뜻도 아니고,

둘 사이의 실제거리가  $1$ 이라는 것도 아닙니다.

그냥 편의상  $(1,2)$,  $(1,3)$ 의 위치에 두 복소수가 있다고 보는 것이죠.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

다음엔 좌표평면에 대해서 알아볼게요!