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공통수학1 [고1]/4. 복소수

복소수의 곱셈[심화](3/3) - 기하학적 표현

by Hamston 2023. 6. 4.
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 목표

- $i$의 거듭제곱의 표현

- 복소수의 거듭제곱의 표현

- 복소수의 곱셈과 나눗셈의 표현

 

 

복소수의 곱셈의 기하학적 표현 썸네일

 

 

 

 $i$의 거듭제곱의 표현

 

지난번에 두 가지 내용에 대해 배웠습니다.

① 복소수를 복소평면에 표현하기

② 직교좌표를 극좌표로 표현하기

 

 

이를 통해  "$i$의 거듭제곱" 이 갖는

기하학적 의미에 대해 알아보려고 해요.

 


 

허수단위  $i$는  $0+1·i$

즉, 실수부가  $0$, 허수부가  $1$인 복소수이므로,

복소평면 위의 점 $(0, 1)$에 대응됩니다.

 

 

마찬가지로,

$i^2=-1=-1+0·i$   →   점 $(-1, 0)$

$i^3=-i=0-1·i$   →  점 $(0, -1)$

$i^4=1=1+0·i$   →  점 $(1, 0)$

이렇게 대응되죠.

 

 


 

직교좌표

원점으로부터 거리각도를 이용해

극좌표로 바꾸면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

이때, 신기하게도

네 점은 원점으로부터의 거리가 모두 $1$이고,

각도만  $90^\circ$ 씩 차이가 난다는 걸 알 수 있죠.

 

 

그래서,  $i\times i=i^2$ 이라는 건,

복소평면에서는

$(1, 90^\circ)\times(1, 90^\circ)=(1, 180^\circ)$

라는 의미입니다.

 

 

 

 

즉,  $i$의 거듭제곱의 기하학적 표현이란

$i$ 를 곱할 때 마다  $90^\circ$ 씩 회전하는 회전이동을 의미합니다.

 

 

 

복소수의 거듭제곱의 표현

 

이번엔 일반적인  "복소수의 거듭제곱" 에서도

회전이동의 의미를 갖는지 확인해보려 합니다.

 

 

예시

복소수  $z=1+i$ 를 복소평면에 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

이제, 거듭제곱입니다.

$z^2=(1+i)^2=2i$

$z^3=(1+i)^3=2i(1+i)=-2+2i$

 

 

좌표로 표현하면,

직교좌표 $(0, 2)$  →  극좌표 $(2, 90^\circ)$

직교좌표 $(-2, 2)$  →  극좌표 $(2\sqrt{2}, 135^\circ)$

이를 복소평면에 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

각도가  $45^\circ$ 씩 증가할 뿐만 아니라,

원점으로부터의 거리도  $\sqrt{2}$배가 되는 것을 확인할 수 있죠.

이 성질을 다음과 같이 한 줄로 정리할 수 있습니다.

 

 

복소수의 거듭제곱의 기하학적 표현

 

복소수를 한 번씩 곱할 때마다,

거리는 계속 곱해지고, 각도는 계속 더해지는 거죠.

 

 

※ 이때, 원점으로부터의 거리가  $1$ 인 경우,

거듭제곱을 해도 거리는  항상  $1$ 이 됩니다.

 

 

이 경우에 대해 공식으로 정리된 것이

"드 무아브르 공식(de Moivre’s formula)" 입니다.

삼각함수를 이용한 일반각에 대한 이해가 필요하기 때문에

여기서는 넘어가도록 할게요.

 


 

 예제

$z_1=\frac{1+i} {\sqrt{2}}$,  $z_2=\frac{1+\sqrt{3}i} {2}$ 라 할 때,  ${z_1}^n={z_2}^n$ 을 만족시키는

가장 작은 자연수  $n$ 의 값을 구하시오.

(풀이)

더보기

정답 : $n=24$

 

두 복소수의 극좌표를 구해보면 다음과 같습니다.

$z_1=(1, 45^\circ)$, $z_2=(1, 60^\circ)$

 

두 복소수 모두 원점과의 거리가  $1$ 이기 때문에,

거듭제곱을 해도 거리는 멀어지지 않고 회전이동만 하게 됩니다.

 

 

여기서  ${z_1}^8=1$ 이고, ${z_2}^6=1$ 이 되는 것을 알 수 있습니다.

따라서,  $8$ 과  $6$ 의 최소공배수인

$n=24$ 일 때 처음으로 같아지게 됩니다.

 

 

 

복소수의 곱셈과 나눗셈의 표현

 

극좌표의 회전이동을 이용한 복소수의 거듭제곱은

특수각이라는 특정상황에서 꽤 큰 도움이 됩니다.

 

 

서로 다른 두 복소수의 곱셈나눗셈에서도

같은 원리가 적용이 되는데,

거리는 곱하거나 나누고, 각도는 더하거나 빼주면 됩니다.

 

 

 복소수의 곱셈과 나눗셈의 기하학적 표현

 


 

 예시1

 

 

 예시2

 

 

 

마무리

 

정확한 증명을 제외하고

추상적으로 보이는 성질로만 살펴본 내용이라 많이 어려웠을 수도 있어요.

그래도 여기까지 열심히 봤다면

분명 큰 도움이 되었을 거라 생각해요!

 

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