이차방정식과 이차함수의 관계

 

 

■ 목표

- 이차방정식과 이차함수의 관계 이해하기

- 판별식을 이용해 이차함수 위치관계 알기

 

 

 

 

 

개요

 

수학(상)에서 어쩌면 가장 핵심 내용이라고 할 수 있는

이차방정식과 이차함수의 관계입니다.

 

 

이 관계를 이용해서,

때론 이차방정식 문제를 이차함수로 풀기도 하고,

때론 이차함수 문제를 이차방정식으로 풀기도 한답니다.

 

 

 

이차방정식과 이차함수의 관계

 

이차함수 :  $y=ax^2+bx+c$

이차방정식 :  $ax^2+bx+c=0$

둘은 생긴 모습이 상당히 비슷하죠.

 

 

사실 이차함수에서  "$y$ 대신  $0$" 만 넣어주면

이차방정식과 완전히 같아집니다.

이게 어떤 의미일까요?

 

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이차함수에는 무수히 많은 점이 있고,

이 중  $y=0$인 점을  $x$절편이라고 했죠.

 

 

그래서,  $x$절편을 구하기 위해선

$y=0$을 대입해서 이차방정식을 풀어야 합니다.

즉,  $ax^2+bx+c=0$ 을 풀어서 나온  $x$값이  $x$절편인 거죠.

 

 

따라서, 이차방정식은 이차함수의  "$x$절편을 구하는 식" 이라고 할 수 있고,

"이차방정식의 근" 이 "이차함수의  $x$절편" 이라고도 할 수 있습니다.

 

 

■ 이차방정식과 이차함수의 관계

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그래서 이제 이차방정식을 보면

이차함수를 떠올릴 수 있어야 합니다.

 

 

예를 들어,  "$x^2-3x+2=0$ 이라는 이차방정식은

$y=x^2-3x+2$ 와  $x$축($y=0$)의 교점을 구하는 식이구나"

이렇게 말이죠.

 

 

 

이차방정식의 판별식과 이차함수

 

이를 이용하면 우리는 이차함수를 그려보지 않고도

$x$절편의 개수를 금방 알아낼 수 있습니다.

 

 

왜냐하면, 이차함수의  $x$절편은

$y=0$ 을 대입한 이차방정식의 근과 같고,

근의 개수는 판별식으로 바로 알 수 있기 때문이죠.

 

 

$D>0$이면, 근이  $2$개 →  $x$절편이  $2$개

$D=0$이면, 근이  $1$개 →  $x$절편이  $1$개

$D<0$이면, 근이  $0$개 →  $x$절편이  $0$개

 

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$x$절편의 개수에 따라 이차함수의 그래프가

$x$축과 어떻게 만나는지를 알 수 있습니다.

이를 이차함수와  $x$축의 위치관계라고 합니다.

 

 

위치관계는 3가지의 경우가 있고, 각각을

① 두 점에서 만난다

② 한 점에서 접한다

③ 만나지 않는다

라고 표현합니다.

 

 

■ 판별식을 통한 이차함수와  $x$축의 위치관계 

 

 

 

마무리

 

이차함수와 이차방정식 사이에는

확실히 긴밀한 관계가 있는 것 같죠?

 

두 개념을 연결하면,

어떤 문제를 풀 때 더 넓은 시각에서 접근할 수 있게 된답니다.