이차함수의 최대최소

■ 목표

- 이차함수 그래프의 개형 그리기

- 이차함수의 최댓값, 최솟값 구하기

 

 

 

 

 

개요

 

직선인 일차함수와 비교해 보면

포물선인 이차함수는 모양이 특이한 편이죠.

 

 

포물선 모양에선 가장 낮은 값 또는 가장 높은 값이 존재할 수밖에 없습니다.

이를 각각 최솟값, 최댓값이라고 합니다.

 

 

그래서 우리는 어떤 이차함수의 식을 보고,

"$x$ 가 얼마일 때,  $y$ 가 최솟값 또는 최대값인지" 를 찾아내보려고 합니다.

한번 살펴볼까요?🔍

 

 

 

① 포물선 방향 확인 - 그래프의 개형

 

이차함수는 모양에 따라 최솟값이나 최댓값 둘 중 하나만 갖습니다.

그래서 식을 보고 우선 어떤 모양인지부터 알아내야 하죠.

이때,  $y=ax^2+bx+c$ 에서 모양을 결정하는 건  $a$ 입니다.

 

 

 

 

이처럼  "점을 정확히 찍지 않고, 그래프의 형태만 그린 것" 을

그래프의 개형이라고 합니다.

모양을 확인하는 데엔 개형만 그려도 충분하죠.

 

 

그래프의 개형을 보면 어떤가요?

$a>0$ 이라면, 꼭짓점이 최솟값이 되고, 최댓값은 존재하지 않습니다.

$a<0$ 이라면, 꼭짓점이 최댓값이 되고, 최솟값은 존재하지 않습니다.

 

 

결국 최솟값이든 최댓값이든

꼭짓점을 구해야겠군요💡

 

 

 

② 최댓값/최솟값 구하기 - 꼭짓점

 

"꼭짓점 구하기"는 지난번에 열심히🔥 연습했었죠.

 

 

<참고> 꼭짓점 구하기

이차함수의 일반형

 

 

꼭짓점을 구하기 위해서는

일반형으로 표현된 식을 표준형으로 바꿀 수도 있고,

축의 방정식만 빠르게 구하는 방법도 있습니다.

한번 예시를 볼까요?

 

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■ 예시

 

① 이차항의 계수  $a=\dfrac{1}{2}$ 이므로, 아래로 볼록인 포물선이죠.

     즉, 최솟값을 갖습니다.

 

② 식을 살펴보면, 축의 방정식은 $x=-1$ 이라는 것을 알 수 있죠.

      $y=\dfrac{1}{2}(x^2+2x)+2=\dfrac{1}{2} (x+1)^2+□$

 

③ $x=-1$ 일 때의  $y$ 값이 바로 최솟값  $\dfrac{3}{2}$ 이라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

■ 이차함수  $y=ax^2+bx+c$ 의 최댓값/최솟값 구하기

 

순서 : ① 그래프의 개형을 그린다  →  ② 축을 찾는다  →  ③ 최댓값/최솟값을 구한다

 

1. 아래로 볼록인 경우(최솟값 존재) 

 

 2. 위로 볼록인 경우(최댓값 존재)

 

 

 

마무리

 

이차함수의 최대최소 값을 찾는 문제를 풀면서

그래프의 형태와 특성을 더 깊게 이해할 수 있게 될 거예요.

다음에도 이어서 그래프를 더 살펴보죠🚀