이차함수 그래프와 직선의 위치관계

■ 목표

- 위치관계의 정의 이해하기

- 이차함수 그래프와 직선의 위치관계 알기

- 판별식을 통해 위치관계 파악하기

 

 

 

 

 

위치관계

 

하나의 좌표평면에 여러 개의 그래프를 그리다 보면

서로 간의 충돌이 생길 수 있습니다.

 

 

전혀 안 만날 수도 있지만, 때론 교차하기도 하고, 접하기도 하죠.

이를  "위치관계" 라고 합니다.

 

 

어떤 도형을 그리는지, 어떤 그래프를 그리는지에 따라 조금의 차이는 있지만,

일반적으로는 '만난다' 또는 '만나지 않는다' 로 분류하고,

만나는 경우 '만나는 점은 몇 개인지' 를 기준으로 위치관계를 말합니다.

 

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곡선과의 위치관계를 말할 때는 특별한 경우가 하나 있죠.

바로  "접한다" 입니다.

두 그래프가 만났다 하더라도, 그 교점에서

서로를 관통하듯 교차했는지 혹은 살짝 터치하듯이 지나갔는지에 따라 다릅니다.

 

 

"접한다" 의 정확한 정의는 미분을 배운 후에 다시 나오기 때문에,

지금은 이런 이미지의 형태로만  "접한다" 를 이해해도 충분합니다.

 

 

 

이자함수 그래프와 직선의 위치관계

 

우리가 그릴 수 있는 함수의 그래프는 두 가지.

바로 일차함수와 이차함수입니다.

 

 

하나는 직선이고, 하나는 포물선이죠.

이 둘을 좌표평면에 함께 그렸을 때, 둘은 만날까요 만나지 않을까요?

만난다면 어떤 모습으로 만나게 될까요?

 

 

이를 생각해 보면 다음의 세 가지 모습 외에는

없다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

이 세 가지를  "이차함수의 그래프와 직선의 위치관계" 라고 합니다. 

 

 

자 그럼 문제는 이겁니다.

두 그래프가 어떻게 만나는지를 알고 싶다면,

무조건 그래프를 그려봐야만 할까요?

 

 

아닙니다. 이번 단원의 핵심은 그게 아니니까 말이죠.

 

 

 

판별식을 이용한 위치관계 파악

 

지난 포스팅에서

'어쩌면 수(상)에서 가장 핵심내용은 이것일 것이다' 라고 했었죠.

 

이차방정식과 이차함수의 관계

 

우리는 그래프에서의 문제도

이차방정식으로 바꿔서 생각하는 게 가능합니다!

 

 

만난다는 건, 두 그래프의 교점이 있다는 뜻이고,

교점을 구하려면 두 식을 연립해서 방정식을 풀면 되죠.

 

 

예를 들어, 두 점에서 만난다는 말은

→ 교점이 두 개다.

→ 교점을 구하는 방정식의 근이 두 개다.

→ 판별식이  $0$ 보다 크다

라고 해석이 가능합니다.

 

 

즉, 판별식만 보면, 위치관계를 알 수 있다는 뜻입니다.

 

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■ 예시

 

그래프를 그려보지 않아도, 교점이 몇 개인지는 알 수 있습니다.

교점을 구하는 식은 다음과 같죠.

 

 

$x^2+x-3=2x-1$

$x^2-x-2=0$

 

 

$D=1+8=9$ 이므로  $0$ 보다 큽니다.

근이 두 개라는 뜻이죠.

즉, 교점이 두 개라는 뜻이므로, 두 점에서 만난다는 걸 알 수 있습니다.

 

 

이차함수 그래프와 직선의 위치관계를 총 정리하면 다음과 같습니다.

 

■ 이차함수 그래프와 직선의 위치관계

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마무리

 

우리는 이차방정식과 이차함수의 관계를 계속 활용하고 있습니다.

이번 포스팅에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 파악해 보았죠.

 

두 영역을 자유롭게 넘나드는 것 같은 이런 개념들에 익숙해지면,

새로운 시각을 갖고 많은 문제를 해석할 수 있는 힘이 생긴답니다.

여기까지!