제한된 범위에서의 이차함수의 최대최소

■ 목표

- A. 범위 내에 꼭짓점이 있을 때, 최대/최소 구하기

- B. 범위 내에 꼭짓점이 없을 때, 최대/최소 구하기

개요

제목만 봐도 지난 포스팅에서 그대로 이어지는 내용이란 걸 알 수 있죠.

<이차함수의 최대최소>

이차함수의 최대최소

■ 목표 - 이차함수 그래프의 개형 그리기 - 이차함수의 최댓값, 최솟값 구하기 개요 직선인 일차함수와 비교해 보면 포물선인 이차함수는 모양이 특이한 편이죠. 포물선 모양에선 가장 낮은 값

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달라진 점은 "제한된 범위에서의"

즉, $x$ 의 범위가 추가되었다는 뜻입니다.

제한된 범위에서 이차함수는 최대/최소를 둘 다 갖게 됩니다.

따라서, 단순히 꼭짓점을 구하는 것 외에도 범위를 생각해야만 하죠.🤔

범위가 어떻게 주어지느냐에 따라 다음과 두 가지로 나누어 생각해보려고 합니다.

A. 범위 내에 꼭짓점이 있을 때

B. 범위 내에 꼭짓점이 없을 때

A. 범위 내에 꼭짓점이 있을 때

범위 내에 꼭짓점이 있다면 꼭짓점이 최대나 최소가 된다는 건 분명합니다.

그렇다면 범위를 잘라내면서 나오는 나머지 최소나 최대를 구해주는 것이 문제겠죠.

■ 예시

① 축의 방정식 찾기

$y = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} + □$ 이므로,

축의 방정식은 $x = 1$ 임을 알 수 있죠.

② 주어진 범위 표시하기

범위의 시작인 $x = - 1$ 과 끝인 $x = 2$ 를 표시해 주면 됩니다.

하지만, 이 때 한 가지를 염두에 두고 그려주는 것이 좋습니다.

바로 이차함수의 대칭성입니다.⚖️

이차함수는 축을 중심으로 그래프가 좌우대칭이라는 거죠.

여기서는 $x = 1$ 이 중심이기 때문에,

한 칸씩 멀어진 $x = 0$ 과 $x = 2$ 의 값이 같습니다.

따라서, 축으로부터 가장 멀리 떨어진

$x = - 1$ 일 때가 최댓값임을 알 수 있죠.

③ 최솟값, 최댓값 구하기

$x = 1$ 일 때, 최솟값은 $y = - 4$

$x = - 1$ 일 때, 최댓값은 $y = 0$

B. 범위 내에 꼭짓점이 없을 때

범위 내에 꼭짓점이 없다면 확실한 최대/최소는 없습니다.

따라서, 범위 안에서 최대/최소를 둘 다 찾아줘야 하죠.😥

다행히도 꼭짓점 없는 범위에서 이차함수는

계속 증가하거나, 감소하기 때문에 쉽게 최대/최소를 찾을 수 있습니다.

■ 예시

① 축의 방정식 찾기

축의 방정식은 동일한 $x = 1$ 입니다.

하지만, 방향은 반대죠.

② 주어진 범위 표시하기

범위인 $x = 2$ 부터 $x = 3$ 까지가 모두

축보다 오른쪽에 있다는 것이 중요합니다.

③ 최솟값, 최댓값 구하기

$x = 2$ 일 때, 최댓값은 $y = 3$

$x = 3$ 일 때, 최솟값은 $y = 0$