이차함수의 최대최소[응용] - 2.이차식의 최대최소

■ 목표

- 이차식의 최대최소 구하기

- 조건을 만족시키는 이차식의 최대최소 구하기

 

 

 

 

 

개요

 

지금까지

이차함수의 최대최소 구하는 법을 배웠죠.

 

 

그럼 다음 두 문제의 차이를 한번 비교해 볼까요?⚖️

 

 

분명 완전히 다른 문제라는 느낌도 들지만, 두 문제 모두 답은 동일합니다.

$x=1$ 일 때, 최솟값은 $-4$ 이죠.

 

 

즉, 이차함수 문제가 아니더라도 최대최소를 구하는 문제라면,

결국 비슷한 방법으로 풀 수 있다는 뜻입니다.💡

 

 

 

이차식의 최대최소 구하기

 

어떤 유형의 최대최소 문제인지 예시를 통해 먼저 살펴보죠.

 

 

■ 예시

 

 

이 유형은 문제를 푸는 방법보다

문제의 구조를 하나하나 분석해 보는 것이 중요합니다.🔍

 

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① (주어진 식)의 최솟값을 구하는 문제이며, (주어진 식)은 이차식입니다.

 

 

② 문자가 두 종류이므로, 분리해서 보면 이차식이 두 개입니다.

$$(x^2-2x)+(y^2+4y)-3$$

 

 

③ ⭐각각의 이차식의 최솟값을 구하는 건 이차함수의 최솟값을 구하는 것과 같습니다.

 

첫 번째 식을  $f(x)=x^2-2x$ 로 놓으면,  $f(x)=(x-1{)}^2-1$ 로 나타낼 수 있습니다.

즉,  축이  $x=1$ 인 이차함수의 최솟값은  $f(1)=-1$ 임을 알 수 있죠.

 

마찬가지로, 두 번째 식을  $g(y)=y^2+4y$ 로 놓으면,  $y=-2$ 일 때, 최솟값이  $g(-2)=-4$ 입니다. 

 

 

④ (주어진 식)의 최솟값을 구합니다.

$x=1,y=-2$ 일 때, 주어진 식의 최솟값은  $(-1)+(-4)-3=-8$ 이 됩니다.

 

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※  "$x,y$ 는 실수" 라는 조건이 있는 이유

만약, 이 조건이 없다면 최솟값이 존재하지 않습니다.

 

 

(주어진 식)을 조금 정리해서 다시 살펴보죠.

$$(x^2-2x)+(y^2+4y)-3$$

 

 

둘 다 이차함수라고 생각하고 표준형으로 만들어보면 이렇게 됩니다.

$$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2-8$$

 

 

$x=1$,  $y=-2$ 일 때 최소가 되는 이유는

$(x-1{)}^2$ 과 $(y+2{)}^2$ 이  "$0$ 일 때" 가 최소이기 때문입니다.

둘 다 무조건  "$0$ 이상" 이기 때문이죠.

 

 

하지만 무언가의 제곱이  $0$ 이상인 건,

그 무언가가 실수일 때뿐입니다.

 

 

실수라는 제한이 없다면, 허수를 생각해야 하고,

허수는 제곱해서 음수가 될 수도 있다 보니, 최솟값은 끝없이 더 작아질 수도 있는 것이죠.

 

 

 

조건을 만족시키는 이차식의 최대최소 구하기

 

이번엔 같은 문제에 조건이 하나 추가된 유형을 살펴볼까 합니다.

 

 

■ 예시

 

 

(주어진 식)은 아까 예시문제와 같습니다.

그렇다면  $x=1$,  $y=-2$ 일 때 최소가 되어야 하죠.

 

 

하지만, 이 문제에서는  $x-y+1=0$ 이라는 조건을 만족해야만 합니다.

그래서  $x=1$ 이면,  $y=2$ 여야만 하고,  $y=-2$ 이면,  $x=-3$ 이어야만 하죠.

이럴 땐 어떻게 조건을 맞춰  $x$ 와  $y$ 를 정할 수 있을까요?🤔

 

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어려워 보이지만, 생각보다 해결책은 단순합니다.

바로 (주어진 식)에 조건을 미리 반영하는 것이죠. 💡

 

 

조건은  $y=x+1$ 이어야 한다는 것이고, 이를 (주어진 식)에 대입하면 다음과 같아집니다.

$$x^2-2x+(x+1{)}^2+4(x+1)-3$$

$$2x^2+4x+2$$

 

 

조건을 반영한 식은 고작해야 하나의 이차식이 되고,

$x=-1$ 일 때, 최솟값이  $0$ 이라는 것은 쉽게 알 수 있게 되죠.

 

 

 

마무리

 

새로 배운 내용은 없어보일 수도 있지만,

중요한 관점 하나를 얻었다고 생각하면 좋습니다.

바로 이차식에서 이차함수를 보는거죠.

 

어떤 식의 최대최소를 구할 수 있다는 건 중요합니다.

이차함수를 능숙하게 생각할 줄 아는 것도 중요하죠.😉