이차함수의 최대최소[응용] - 1.공통부분이 있는 함수

 

 

■ 목표

- 공통부분이 있는 함수 분석하기

- 공통부분이 있는 함수의 최대/최소 구하기

 

 

 

 

 

개요

 

공통부분이라는 단어를 봤을 때,

여러분이 바로 떠올려야 하는 것은 바로 치환입니다.

 

 

치환은 길고 복잡해 보이는 식을 단순하게 만들어서,

문제를 이해하기 쉽게 도와주죠.

근데 함수에서의 치환은 좀 더 의미가 특별합니다.✨한번 차근차근 알아볼까요?

 

 

 

공통부분이 있는 함수

 

다음과 같은 함수가 있다고 해보죠.

 

 

 

식을 보자마자 바로 전개해서

$y=x^4-4x^3+8x^2-8x+2$ 라고 쓰더라도

아직 사차함수에 대해서는 아무것도 할 수가 없습니다.

 

 

그래서 전개하는 대신 한 눈에 보이는 공통부분인

$(x^2-2x)$ 에 집중을 하기로 합니다.🔍

 

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$(x^2-2x)$ 를 새로운 문자인  $t$ 로 치환하면

새로운 시각으로 볼 수 있습니다.🕶️

 

 

 

원래 있었던 사차함수는 이제 이차함수처럼 보입니다.

하지만, 문자가  $x$ 가 아니라  $t$ 가 되었죠.

 

 

그래서 이젠   $x=1$ 일 때,  $y$ 가 얼마인지 구할 때에도

한번 더 생각해야합니다.🤔

$x=1$ 이라면,   $t=-1$ 인 것이고,

$t=-1$ 일 때,  $y=-1$ 이 되는 것이죠.

 

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여기서의 핵심은

$(x^2-2x)$ 를 단순히  $t$ 로 바꿔 썼다고 보는 것이 아니라,

$t=(x^2-2x)$ 를 하나의 함수로써 바라보는 것입니다.

 

 

원래는  $x$ 를 넣으면 바로  $y$ 가 나오는 함수였지만,

사차함수라서 너무 복잡했기 때문에,

치환을 이용해 두 개의 함수로 분리한 셈이죠.

 

 

'$x$ 를 넣으면  $t$ 가 나오는' 함수

'$t$ 를 넣으면  $y$ 가 나오는' 함수

이렇게요.

 

 

 

 

이 개념은 굉장히 중요합니다.⭐

나중에 수(하)에서 배울 합성함수에 대한 개념이기도 하죠.

 

 

 

공통부분이 있는 함수의 최대/최소

 

이제 공통부분이 있는 함수의 최대/최소를 구해보죠.

이때, 제한된 범위에서 최대/최소 구하는 방법에 대해 잘 알고 있어야 합니다.

 

 

<제한된 범위에서 이차함수의 최대/최소>

제한된 범위에서의 이차함수의 최대최소

 

 

예시를 통해 바로 살펴볼게요.

 

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■ 예시

 

 

① 치환

$(x^2-2x)$ 를  $t$ 로 치환합니다.

이는 두 개의 함수로 분리했다는 뜻이기도 합니다.

$t=x^2-2x$ 와  $y=t^2+4t+2$ 로 말이죠.

 

 

② $t$ 의 범위 구하기

$y$ 의 최대/최소를 구하고 싶지만,  $x$ 를 바로 대입할 순 없습니다.

그래서  $t=(x^2-2x)$ 를 살펴보고,

'$x$ 의 범위' 를  '$t$ 의 범위' 로 바꿔보려 합니다.

 

 

 

 

축과 범위를 표시해 보면

$x=1$ 일 때, 최솟값은  $t=-1$

$x=-1$ 일 때, 최댓값은  $t=3$

임을 알 수 있습니다.

즉,  $-1 \leq t \leq 3$ 이  $t$의 범위가 됩니다.

 

 

③ $y$ 의 최대/최소 구하기

이제 문제는 이렇게 바뀌었다고 볼 수 있습니다.

 

 

마찬가지로, 그래프의 개형을 이용해 구해주면 됩니다.

 

 

 

$t=-1$ 일 때, 최솟값은  $y=-1$

$x=3$ 일 때, 최댓값은  $y=23$

 

 

■ 공통부분이 있는 함수의 최대/최소 구하기

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마무리

 

많이들 어려워하는 유형이라고 볼 수 있죠.

하지만, 뜯어보면 결국은

제한된 범위에서 이차함수의 최대/최소를 두 번 구해야 하는 유형에 불과하기도 해요.

많이 연습해 보면 그만큼 쉬워진답니다