이차함수의 일반형

■ 목표

- 이차함수의 일반형

- $x$절편 구하기

- 꼭짓점 구하기

 

 

 

 

 

이차함수의 일반형

 

일반형이란 우리가 생각할 수 있는

모든 이차함수를 대표하는 식입니다.

 

 

모든 이차함수가 이차항, 일차항, 상수항을 가지고 있으니,

대표로 이렇게 쓰는 것이죠.

 

$$y=ax^2+bx+c$$

 

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일반형은 표준형과 비교했을 때,

그래프를 그리기에 쉬워보이진 않습니다.

 

 

일반형 : $y=ax^2+bx+c$

표준형 : $y=a(x-p)^2+q$

 

 

왜냐하면 우리는 꼭짓점을 찾고

그래프를 그리는 것에 익숙하거든요.

 

 

그렇다면 일반형은 무조건 표준형으로 바꾸어야만

그래프를 그릴 수 있을까요?

 

 

꼭 그렇진 않습니다.

일반형의 장점은 바로 절편을 구하기 쉽다는 데 있죠.

 

 

 

$x$ 절편 구하기

 

 

일반형도 표준형처럼

그래프의 방향과 폭을 바로 알 수 있고,

특히,  $y$절편을 바로 찾아낼 수 있습니다.

 

 

하지만, 그래프를 정확히 그리려면

$x$절편 이나 꼭짓점 둘 중 하나는 알아야 하죠.

 

 

이때, 만약 식이 인수분해가 된다면

$x$절편을 구하는 것이 훨씬 편합니다.

 

 

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■ 예시

 

① 포물선의 방향과 폭

    $x^2$ 의 계수가  $\dfrac{1}{2}$이므로, 아래로 볼록인 포물선 모양입니다.

 

② $y$절편

    $x=0$ 을 대입해 보면,  $y$절편은  $-\dfrac{3}{2}$ 입니다.

 

③ $x$절편

    $y=0$ 을 대입해 보면,

 

    $\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)(x+3)=0$ 이므로,

 

    $x$절편은  $1$ 과  $-3$ 입니다.

 

 

이를 토대로 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

 

꼭짓점을 구하지 않고도

그래프는 꽤 정확하게 그려낼 수 있죠.

 

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■ 축의 방정식 구하기

 

이때, 그래프를 통해 알 수 있는 건

두  $x$절편이 당연히 축에 대해 대칭이라는 점입니다.

 

 

따라서, 두  $x$절편의 중간인

$x=-1$이 이차함수의 축의 방정식임을 알 수 있죠.

 

 

꼭짓점의  $y$좌표 또한,

$x=-1$ 을 대입해서  $(-1, -2)$임을 알 수 있습니다.

 

 

즉,  $x$절편 > 축의 방정식 > 꼭짓점의 순서로

결국 전부 찾아낼 수 있다는 거죠.

 

 

■ 일반형의 그래프 그리기 -  $x$절편 구하기

 

 

 

꼭짓점 구하기

 

근데 이차함수의  $x$절편이 항상 존재하는 것은 아닙니다.

 

 

<참고> 이차함수의 그래프의 점

이차함수의 그래프의 점

 

$x$절편이 존재하지 않는다면,

인수분해도 물론 되지 않죠.

 

 

이때는 꼭짓점을 구해야 하므로,

식을 표준형으로 바꾸어주어야 합니다.

 

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■ 예시

 

핵심 키워드는 바로 완전제곱식입니다.

 

 

① 이차항과 일차항 묶기

   $y=\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}=$$\dfrac{1}{2}(x^2+2x)$$+\dfrac{3}{2}$

 

② 완전제곱식에 필요한 숫자를 더하고 빼기

   $y=\dfrac{1}{2}(x^2+2x$ $+1-1$$)+\dfrac{3}{2}$

 

③ 식 정리하기

   $y=\dfrac{1}{2}(x^2+2x+1)+1$

 

   $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1$

 

 

이제 꼭짓점 좌표  $(-1,1)$ 을 기준으로

그래프를 그릴 수 있습니다.

 

 

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■ 축의 방정식 구하기

 

일반형에서 꼭짓점이 아니라

축의 방정식만 찾아내고 싶다면 찾아내고 싶다면 어떨까요?

 

 

표준형으로 바꾸는 과정에서

결국  $(x+1)^2$ 이 만들어진다는 것만 알아내면 충분합니다.

 

 

① 이차항과 일차항 묶고

   $\dfrac{1}{2}x^2+x=$$\dfrac{1}{2}(x^2+2x)$

 

② 필요한 수를 더하면

   $(x^2+2x+1)$

 

③ 완전제곱식이 보이죠.

   $(x+1)^2$

 

 

즉, 축의 방정식은  $x=-1$ 입니다.

 

   

■ 일반형의 그래프 그리기 - 꼭짓점 구하기

 

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마무리

 

여기까지!

이차함수의 핵심이 축이기 때문에

일반형에서도 축을 바로 찾아내는 것이 중요하죠.

 

다음은 본격적으로 수(상)에서 얘기하는

본론으로 들어가 볼게요.