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공통수학1 [고1]/6. 이차함수

이차함수의 일반형

by Hamston 2023. 9. 10.
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 목표

- 이차함수의 일반형

- x절편 구하기

- 꼭짓점 구하기

 

 

이차함수의 일반형 썸네일

 

 

 

이차함수의 일반형

 

일반형이란 우리가 생각할 수 있는

모든 이차함수를 대표하는 식입니다.

 

 

모든 이차함수가 이차항, 일차항, 상수항을 가지고 있으니,

대표로 이렇게 쓰는 것이죠.

 

y=ax2+bx+c

 


일반형 표준형과 비교했을 때,

그래프를 그리기에 쉬워보이진 않습니다.

 

 

일반형 : y=ax2+bx+c

표준형y=a(xp)2+q

 

 

왜냐하면 우리는 꼭짓점을 찾고

그래프를 그리는 것에 익숙하거든요.

 

 

그렇다면 일반형은 무조건 표준형으로 바꾸어야만

그래프를 그릴 수 있을까요?

 

 

꼭 그렇진 않습니다.

일반형의 장점은 바로 절편을 구하기 쉽다는 데 있죠.

 

 

 

x 절편 구하기

 

이차함수의 일반형

 

일반형 표준형처럼

그래프의 방향을 바로 알 수 있고,

특히,  y절편을 바로 찾아낼 수 있습니다.

 

 

하지만, 그래프를 정확히 그리려면

x절편 이나 꼭짓점 둘 중 하나는 알아야 하죠.

 

 

이때, 만약 식이 인수분해가 된다면

x절편을 구하는 것이 훨씬 편합니다.

 

 


예시

그래프 그리기 예시1

 

① 포물선의 방향과 폭

    x2 의 계수가  12이므로, 아래로 볼록인 포물선 모양입니다.

 

y절편

    x=0 을 대입해 보면,  y절편은  32 입니다.

 

x절편

    y=0 을 대입해 보면,

 

    12x2+x32=12(x1)(x+3)=0 이므로,

 

    x절편은  1 과  3 입니다.

 

 

이를 토대로 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

이차함수 그래프 그리기1

 

꼭짓점을 구하지 않고도

그래프는 꽤 정확하게 그려낼 수 있죠.

 


축의 방정식 구하기

 

이때, 그래프를 통해 알 수 있는 건

두  x절편이 당연히 에 대해 대칭이라는 점입니다.

 

 

따라서, 두  x절편의 중간인

x=1이 이차함수의 축의 방정식임을 알 수 있죠.

 

두 x절편과 축의 방정식

 

꼭짓점의  y좌표 또한,

x=1 을 대입해서  (1,2)임을 알 수 있습니다.

 

 

즉,  x절편 > 축의 방정식 > 꼭짓점의 순서로

결국 전부 찾아낼 수 있다는 거죠.

 

 

일반형의 그래프 그리기 -  x절편 구하기

일반형에서 x절편 이용하기

 

 

 

꼭짓점 구하기

 

근데 이차함수의  x절편이 항상 존재하는 것은 아닙니다.

 

 

<참고> 이차함수의 그래프의 점

 

이차함수의 그래프의 점

■ 목표 - 이차함수의 그래프의 꼭짓점 알아보기 - 이차함수의 그래프의 절편 알아보기 개요 어떤 함수의 그래프를 그릴 때 필요한 건, 몇 개의 점의 좌표를 정확히 찍는 것입니다. 이차함수에서

indv-wrappedmath.tistory.com

 

x절편이 존재하지 않는다면,

인수분해도 물론 되지 않죠.

 

 

이때는 꼭짓점을 구해야 하므로,

식을 표준형으로 바꾸어주어야 합니다.

 


 예시

그래프 그리기 예시2

 

핵심 키워드는 바로 완전제곱식입니다.

 

 

① 이차항과 일차항 묶기

   y=12x2+x+32=12(x2+2x)+32

 

완전제곱식에 필요한 숫자를 더하고 빼기

   y=12(x2+2x +11)+32

 

③ 식 정리하기

   y=12(x2+2x+1)+1

 

   y=12(x+1)2+1

 

 

이제 꼭짓점 좌표  (1,1) 을 기준으로

그래프를 그릴 수 있습니다.

 

이차함수 그래프 그리기2

 


 축의 방정식 구하기

 

일반형에서 꼭짓점이 아니라

축의 방정식만 찾아내고 싶다면 찾아내고 싶다면 어떨까요?

 

 

표준형으로 바꾸는 과정에서

결국  (x+1)2 이 만들어진다는 것만 알아내면 충분합니다.

 

 

① 이차항과 일차항 묶고

   12x2+x=12(x2+2x)

 

② 필요한 수를 더하면

   (x2+2x+1)

 

③ 완전제곱식이 보이죠.

   (x+1)2

 

 

즉, 축의 방정식은  x=1 입니다.

 

   

일반형의 그래프 그리기 - 꼭짓점 구하기

일반형에서 표준형 만들기

 

 

마무리

 

여기까지!

이차함수의 핵심이 이기 때문에

일반형에서도 을 바로 찾아내는 것이 중요하죠.

 

다음은 본격적으로 수(상)에서 얘기하는

본론으로 들어가 볼게요.

 

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