인수분해 방법(2/4) - 치환 [B. 복이차식]

■ 목표

- 복이차식이란

- 인수분해가 되는 유형

- 인수분해가 안 되는 유형

 

 

 

 

 

복이차식이란

 

복이차식은 "중복된 이차식" 이라는 뜻이에요.

제곱이 두 번된 항을 보고

붙은 이름이라 생각하면 됩니다. 

 

 

보통 이차식에서 문자는

$x$에 대한 2차항과 1차항이 있죠.

 

 

이 두 항을 "한번 더 제곱"하면

$x$에 대한 4차항과 2차항이 있는 식이 됩니다.

 

 

결국은 4차식입니다.

하지만, "3차항이나 1차항이 없는"

특수한 형태의 4차식이라고 볼 수 있죠.

 

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결국, 복이차식은

"한번 더 제곱되기 전"으로 돌려주면

그냥 평범한 이차식이 되는겁니다.

 

 

즉, 복이차식의 인수분해는

$x^2$ 을 하나의 문자, 일반적으로  $t$ 로 치환해서

이차식을 인수분해하는 방법으로 이루어집니다.

 

 

 

인수분해가 되는 유형

 

복이차식의 첫 번째 유형은

치환을 하기만 하면 바로

간단하게 인수분해가 되는 유형입니다.

 

별로 어려울 건 없으니 예시를 한번 볼까요?

 

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■ 예시

 

마지막 줄은 굳이 안 해줘도 인수분해는 된 거지만

앞에서 합차공식이 보이니 한번 더 해주면

완전히 다 분해가 되었죠?

 

 

 

인수분해가 안 되는 유형

 

두 번째 유형은

치환을 했는데도 인수분해가 되지 않는 유형입니다.

예를 들어, 이런 식이죠.

 

 

평범한 이차식이었다면

인수분해가 불가능했겠지만,

복이차식은 가능합니다.

 

 

사실  $t$ 가  "$x$ 에 대한 이차항"이기 때문입니다.

그래서  $t$ 는 혼자 있어도

2차항의 역할을 할 수 있습니다.

 

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■ 복이차식의 인수분해 방법

①  $t$ 의 계수를 조절해서 완전제곱식을 만들기

② 합차공식을 이용해서 인수분해하기

 

 

①  $t$ 의 계수를 조절해서 완전제곱식을 만들기

 

가장 어려운 부분일 거예요.

 

 

왼쪽의 이차식을 보고,

특히,  $t^2$ 항과  $9$ 라는 상수항을 보고

생각나는 완전제곱식이 있어야 합니다.

바로  $t^2+6t+9$ 이죠.

 

 

완전제곱식을 만들기 위해서

일차항  $t$ 의 계수를  $6$ 으로 만들어준 후,

다시  $4t$ 를 빼줍니다.

 

 

※ 주의

이 때, 혹시  $t^2+6t+9$ 대신  $t^2-6t+9$ 를 만들어도 되지 않을까요?

 

 

완전제곱식을 만드는 것에는 문제가 없지만

차이는 남겨진 뒤의  $t$ 의 계수에 있습니다.

 

 

뒤 쪽의  $t$ 의 계수가 반드시 음수여야만

다음 과정에서 인수분해를 할 수 있습니다!

 

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② 합차공식을 이용해서 인수분해하기

 

여기서 다시 $t$ 를  $x^2$ 으로 돌려놓으면

"(제곱식)-(제곱식)"의 형태가 됩니다.

$t$ 의 계수가 음수라면 말이죠.

 

 

 

 

결국, 합차공식을 이용해서

인수분해를 할 수 있게 되죠.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

어떻게 보면 복이차식만의 인수분해 방법이

따로 있다는 느낌이 들어서,

많이들 잊어버리기도 하고 어려워하기도 하죠.

하지만, 원리를 알면 그렇게 어렵지는 않습니다!

 

 

다음엔 문자가 여러 개인 다항식을

인수분해 해볼게요!