행렬의 연산의 성질

■ 목표

- 행렬의 연산의 성질

- A. 교환법칙

- B. 결합법칙

- C. 분배법칙

 

 

 

 

 

개요

 

새 연산을 배울 때 항상 확인해야 하는 것,

바로 연산의 성질입니다.

복잡한 계산을 할 때, '어디까지 허용되는지'를

확인하는 과정이라고 보면 되죠.🔍

 

 

연산의 성질엔 세 가지

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 있습니다.

그럼 '행렬의 연산'의 성질은 어떨까요?

 

 

 

A. 교환법칙⭐

 

교환법칙이란 한 마디로

'연산기호의 앞, 뒤 숫자가 교환되어도 결과가 같은가' 입니다.

 

 

덧셈과 곱셈은 교환법칙이 성립하죠.

$2+3=3+2$

$2\times 3=3\times 2$

---

행렬의 덧셈은 어떨까요?

 

 

행렬에서 덧셈은

각 성분끼리의 덧셈들로 이루어집니다.

 

 

 

일반적인 덧셈을

네 번하는 것뿐이기 때문에

당연히 교환법칙은 성립합니다.

 

 

즉, $A+B=B+A$ 로 표현할 수 있습니다. 

---

하지만, 행렬의 곱셈은 어떨까요?🤔

행렬의 곱셈방법을 생각해 보면

일반적인 곱셈과는 확실히 다르죠.

 

 

 

 

따라서, 두 행렬을 곱하더라도

앞의 행렬과 뒤의 행렬의 위치가 바뀌면,

결과도 달라집니다!

 

 

즉, 행렬의 곱셈은

교환법칙이 성립하지 않습니다.🥺

 

 

$A\times B\ne B\times A$

 

 

 

B. 결합법칙

 

결합법칙이란 한 마디로

'연산기호를 여러 번 사용할 때, 순서에 상관없이 결과가 같은가' 입니다.

 

 

예를 들어,

$2+3+5$ 같은 계산을 할 경우,

$2+3$ 을 먼저 하든, $3+5$ 를 먼저 하든

결과는 같습니다.

 

 

$(2+3)+5=5+5=10$

$2+(3+5)=2+8=10$

---

행렬의 덧셈과 곱셈은

모두 결합법칙이 성립합니다.

 

 

$(A+B)+C=A+(B+C)$

$(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$

 

 

※ 과정이 복잡해서 증명은 보통 생략하지만😵

$2\times 2$ 행렬의 곱셈에서 하나의 성분만 살펴보자면

아래와 같습니다.

$(A\times B)\times C$

 

$A\times (B\times C)$

 

 

 

C. 분배법칙

 

마지막인 분배법칙은

덧셈과 곱셈의 혼합계산입니다.

$a\times (b+c)=ab+ac$

$ab+ac=a\times (b+c)$

 

 

행렬에서도 분배법칙은 성립합니다.

$A\times (B+C)=AB+AC$

$AB+AC=A\times (B+C)$

 

 

※ 역시 과정이 복잡해서 증명은 생략하지만,

간단히 살펴보자면 아래와 같습니다.

$A\times (B+C)$

$AB+AC$

 

 

 

마무리

 

이제 결론입니다.

행렬의 덧셈과 곱셈은 자유롭게 계산가능합니다.

단, 행렬의 곱셈만 빼고!

$A\times B\ne B\times A$

 

딱 하나 성립하지 않는 곱셈의 교환법칙 때문에

많은 것들이 헷갈리기 시작하고,

이 단원은 그걸 노려서 문제로 낸답니다😒