항등원과 행렬의 연산

■ 목표

- 항등원의 정의 이해하기

- 행렬의 덧셈에 대한 항등원. 영행렬

- 행렬의 곱셈에 대한 항등원. 단위행렬

 

 

 

 

 

개요

 

지금까지 행렬의 뜻과

기본적인 행렬의 연산에 대해 배웠죠.

 

 

교육과정 내에서는

이 행렬의 연산을 얼마나 잘하는지와

연산의 성질에 대해 얼마나 잘 이해하는지 만을

평가하고 있어요.

 

 

그래서 이번에는

행렬의 덧셈과 곱셈에서 가장 기본이 되는

두 가지 행렬을 살펴보려고 합니다.🔍

 

 

 

항등원(Identity Element)의 정의

 

"항등원" 이라는 용어는

교육과정이 바뀌면서 행렬과 함께 사라졌었던 용어입니다.🌪

하지만, 용어만 사라졌을 뿐

그 의미는 계속 사용되고 있으니, 알아두면 좋아요.

 

 

■ 항등원(Identity Element)

어떤 원소에 어떤 연산을 했을 때, 그대로 자기 자신이 나오게 하는 특정 원소

​

 

어떤 원소냐 어떤 연산이냐에 따라 달라지기 때문에,

말은 어려워 보이지만, 예를 들어보면 단순합니다.👍

---

원소를  "숫자 $3$", 연산을  "덧셈"이라고 하면,

이런 질문이 되죠.

 

 

"$3$ 에다가  $\square$ 를 더했는데, 그대로  $3$ 이 나왔다면,

$\square$ 는 무엇일까?"

 

$3+\square =3$

$\therefore \square =0$

바로  $0$ 입니다.

 

 

그래서 숫자의 덧셈에서는  $0$ 을

'더해서 자기 자신이 나오게 하는 원소'

즉, 덧셈에 대한 항등원이라고 합니다.

 

 

마찬가지로, 곱셈에서라면

다음과 같은 질문이 되겠죠.

 

 

"$3$ 에다가  $\square$ 를 곱했는데, 그대로  $3$ 이 나왔다면,

$\square$ 는 무엇일까?"

 

$3\times \square =3$

$\therefore \square =1$

 

 

'곱해서 자기 자신이 나오게 하는 원소'

즉, 곱셈에 대한 항등원은  $1$ 입니다.

---

너무 당연한 말 아니냐고요?🤷‍♂️

우리에게 숫자는 너무도 익숙하니까 그럴 거예요.

 

 

연산은 보통 덧셈과 곱셈을 벗어나진 않지만,

앞으로는 숫자 외에 다른 개념들도 다루게 된답니다.

그 첫 번째가 바로 행렬이죠.

 

 

 

행렬의 덧셈에 대한 항등원

 

이제 행렬의 연산에서도 같은 질문을 해볼까 합니다.

먼저, 행렬의 덧셈에서 자기 자신이 나오게 하는 원소는 뭘까요?🤔

 

 

예를 들자면, 이런 문제겠죠?

 

 

 

행렬은 각 위치의 성분들끼리 더하기 때문에

답은 모든 성분이  "0" 인 행렬이 됩니다.

 

 

 

행렬의 사이즈가 어떻든, 어떤 성분을 가지고 있든,

모든 성분이  $0$ 인 행렬을 더한다면

당연히 자기 자신이 그대로 나옵니다.

 

 

이처럼 모든 성분이  "0" 인 행렬을

"영행렬(Zero Matrix)" 이라고 하고, 기호로는  $O$ 로 나타내기로 합니다.

 

 

그러면, 숫자  $0$ 처럼

$A+O=A$

$A-A=O$

등의 계산을 쉽게 나타낼 수 있죠.

 

 

■ 영행렬(Zero Matrix)  $O$

영행렬은 모든 성분이  $0$ 인 행렬로, 행렬의 덧셈에 대한 항등원이다.

​

 

단, 영행렬은 어떤 행렬과 더하느냐에 따라,

사이즈가 천차만별이라는 점에서 단순한  $0$ 과는 다릅니다.

 

 

 

행렬의 곱셈에 대한 항등원

 

다음은 행렬의 곱셈에서 항등원을 찾아볼 텐데요.

곱셈은 역시나 꽤 까다롭죠?😵

 

 

 

 

행렬의 곱셈의 특성상

항등원이 뒤 쪽에 곱해져 있다면, "열"을 곱한다고 생각해야 합니다.

 

 

 

 

그러면 자연스럽게  $a=1$,  $c=0$ 일 수밖에 없다는 걸 알 수 있습니다.

마찬가지로 뒤의 열도 해보면,  $b=0$,  $d=1$ 이 됩니다.

 

 

 

그렇게 해서 찾아낸 행렬은 이렇습니다.

 

 

 

첫 번째 줄의 성분은  $(1,0)$ 이고,

두 번째 줄의 성분은  $(0,1)$ 이죠.

 

 

 

가로로 봐도, 세로로 봐도 그렇습니다.

하지만, 쉽게 대각선만 전부  $1$ 이다 생각해도 됩니다.😎

 

 

 

우리는 이 행렬을

"단위행렬(Identity Matrix)" 이라고 하고, 기호로는  $E$ 로 나타내기로 합니다.

 

 

■ 단위행렬(Identity Matrix)  $E$

단위행렬은 대각선 성분은 모두  $1$ 이고, 나머지 성분은  $0$ 인 정사각행렬로, 행렬의 곱셈에 대한 항등원이다.

​

 

여기서 생각할 만한 몇 가지만 짚고 넘어갈게요.✔

 

Q. 영행렬이  $O$ 인건 그렇다 치자, 단위행렬은 왜  $I$ 가 아니라  $E$ 를 쓰는 걸까요?

A. 결론부터 말하자면, 이유는 명확하지 않습니다.

선형대수학에서는 단위행렬(Identity Matrix)을  $I$ 로 표기하고,

이와 비슷한 기본행렬(Elementary Matrix)을  $E$ 로 표현하기 때문에 구분지어야 하죠.

다만, 고등과정에서는 행렬의 아주 일부만을 배우고 있고,

$I$ 라는 글자 자체의 모호함($1$인지 $l$인지 $I$인지) 때문에, 편의상  $E$ 를 쓰는 것 아닐까 생각합니다.(매우 주관적)

 

Q. 단위행렬은 왜 정사각행렬이어야만 할까요?

이건 아주 중요한 질문입니다.

곱셈의 성질을 잘 생각해 보면 알 수 있어요.

 

1) 우선 곱셈이 가능하려면 "j" 를 맞춰줘야 합니다.

(2x3)행렬이라면, (3xk)행렬이어야만 곱하기가 가능하죠.

 

2) 곱셈에 대한 항등원이기 때문에, 곱셈 결과도 (2x3)행렬이어야만 합니다.

따라서, k=3이어야만 하죠.

 

 

 

 

마무리

 

여기까지 항등원과

영행렬, 단위행렬에 대해서 배웠습니다.

이 행렬의 곱셈 때문에 생각보다 글이 계속 길어지네요😓

하지만, 생소한 개념일수록 탄탄하게!

해야겠죠?