다항식의 나눗셈

■ 목표

- 다항식의 나눗셈에 대한 등식 이해하기

- 다항식의 나눗셈 원리 이해하기

 

 

 

 

 

다항식의 나눗셈에 대한 등식

 

식을 식으로 나누면 어떻게 될까요?

"$A(x)$ 라는 식을  $B(x)$ 라는 식으로 나눈다."

나눗셈에 대한 등식으로 써보면 이렇게 됩니다.

 

 

 

 

이제 우리가 찾아야하는 몫도 나머지도 모두

$x$ 에 대한 식입니다.

 

 

어떤 식을 찾아내고 싶을 때,

가장 먼저 할 수 있는 일은 바로 몇 차식인지를 알아내는 것이죠.

 

 

즉, 차수를 구하는 것이 가장 중요합니다.

 

 

■ 몫과 나머지의 차수

①  $Q(x)$의 차수

   $A(x)$의 차수 = $B(x)$의 차수 + $Q(x)$의 차수

 

 

②  $R(x)$의 차수

   $R(x)$의 차수 $\leq$ $B(x)$의 차수

 

 

$A(x)$ 는  $B(x)$ 와  $Q(x)$ 의 곱입니다.

$x^5$ 을 만드려면,  $x^2$ 에  $x^3$ 을 곱해야하죠.

즉, (5차식)을 (2차식)으로 나누었다면, 몫은 (3차식)이 됩니다.

 

 

나머지인  $R(x)$ 는  $B(x)$ 로 최대한 나누고 남은 식입니다.

그래서 무조건  $B(x)$ 보다는 차수가 낮습니다.

즉, (5차식)을 (2차식)으로 나누었다면, 나머지는 (1차식)보다 작다는 뜻이죠.

 

 

 

다항식의 나눗셈

 

이제 실전 나눗셈을 해볼게요.

열심히 전개했던 식 중 하나를 생각해보죠.

 

 

 

 

이 식의 순서를 바꿔보면 나눗셈에 대한 등식이 됩니다.

 

 

 

 

즉, " $x^2+5x+6$ 이라는 식을  $(x+2)$ 로 나누었을 때, 몫은  $(x+3)$ 이고 나머지는 없다."

이렇게 볼 수 있겠죠.

 

 

여기서 만약 몫이 숨겨져 있었다면 어떤 방법으로 찾아야 할까요?

 

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■ 예시1

 

① $Q(x)$ 의 차수

(2차식)=(1차식)$\times$(1차식)

즉,  $Q(x)$ 는  $x$ 에 대한 1차식입니다.

 

 

② $Q(x)$ 의 항 찾기

왼쪽의 최고차항인  $x^2$ 을 만들기 위해서는

$Q(x)$의 최고차항이  $x$ 여야 합니다.

즉,  $Q(x)=(x+a)$ 입니다.

 

 

그 이후는 계산을 해보면서 맞춰갑니다.

 

 

 

 

서로 식을 비교해보면서  $a=3$

즉,  $Q(x)=(x+3)$ 임을 찾아낼 수 있습니다.

 

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■ 예시2

그럼 이번엔 같은 식을  $(x+1)$ 로 나누어보면 어떻게 될까요?

일단 나눗셈에 대한 등식으로 표현해봅니다.

 

 

 

 

같은 방법으로  $Q(x)$ 부터 찾아볼까요?

 

 

 

 

몫  $Q(x)$ 가  $(x+4)$ 라는 걸 찾아내고 나면,

자연스럽게 나머지  $R(x)$ 가  $2$ 라는 것도 알 수 있죠.

 

 

즉, 다항식의 나눗셈의 원리는

계속 왼쪽 식과 오른쪽 식을 비교해가며 맞춰가는 것입니다.

 

 

 

마무리

 

여기까지!

왠지 계산보다는 추리하는 것처럼 느껴지죠?

다음엔 좀 더 간결한 방법인 세로셈법으로 나눠볼게요.