이차방정식의 켤레근의 성질

■ 목표

- 계수가 유리수, 한 근이 무리수인 경우 나머지 한 근은?

- 계수가 실수, 한 근이 허수인 경우 나머지 한 근은?

개요

이차방정식의 마지막 성질은 바로

켤레근의 성질입니다.

근이 한 켤레가 된다는 뜻이죠.

켤레라는 단어는

복소수 단원에서 처음 등장했습니다.

<참고> 켤레복소수

켤레복소수의 정의와 성질

■ 목표 - 켤레복소수의 정의 - 켤레복소수의 성질 켤레복소수 켤레라는 단어 자체는 많이 들어봤을 거예요. 신발 한 켤레, 양말 한 켤레. 켤레복소수란 주어진 어떤 복소수의 나머지 한 짝을 말

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어떤 두 복소수가 켤레라면

덧셈($+$)과 곱셈($\times$)의 계산 결과가 단순해졌죠.

$1+i$ 와 $1-i$ 처럼요.

근의 공식을 통해 두 근을 잘 살펴볼까요?

$$x=\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a},\; \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$$

거의 똑같이 생겼지만, 루트 앞의 부호만 다르죠.

그래서 생긴 걸 보면 두 근이 언제나 켤레 관계일 것 같지만,

사실 그렇지는 않습니다.

$2$ 와 $3$ 을 두 근으로 하는 이차방정식처럼

아닌 경우도 많죠.

그래서 이번엔 이차방정식의 두 근이 켤레 관계가 되는

두 가지 상황에 대해 알아보려 합니다.

A. 계수가 유리수, 한 근은 무리수인 경우

첫 번째 상황은

다음 두 가지 조건이 주어진 경우입니다.

① 이차방정식의 계수가 모두 유리수이다.

② 한 근이 무리수이다.

예시를 통해 살펴볼까요?

■ 예시1

① $a$, $b$ 가 유리수이므로,

"계수가 모두 유리수" 인 이차방정식입니다.

여기서 우리가 근과 계수의 관계를 통해 알 수 있는 것이 있습니다.

두 근의 합도 $-a$ 이므로 유리수,

두 근의 곱도 $b$ 이므로 유리수라는 사실이죠.

② 하지만 한 근이 무리수입니다.

즉, 나머지 한 근은 다음 두 식을 만족해야만 하죠.

$(2-\sqrt2)+(\qquad)$ : 유리수

$(2-\sqrt2)\times(\qquad)$ : 유리수

우선, 더해서 루트가 사라지려면

반드시 $a+\sqrt2$ 처럼 되어야 합니다.

$(2-\sqrt2)+(a+\sqrt2)=2+a$ : 유리수

그리고 곱해서 루트가 사라지려면

$a=2$ 여야만 하죠.

$(2-\sqrt2)\times(2+\sqrt2)=4$$+2\sqrt2-2\sqrt2$$-2=2$

따라서, 두 근은 $2-\sqrt2$ 와 $2+\sqrt2$

즉, 켤레 관계가 됩니다.

■ 예시2

위 문제와 똑같아 보이지만,

"$a$ 와 $b$ 가 유리수" 라는 조건이 없습니다.

과연 이때에도 나머지 한 근이 $2+\sqrt2$ 일까요?

사실 이 때는 나머지 한 근이 딱 정해지지 않습니다.

만약, 두 근이 $2-\sqrt2$ 와 $1$ 이라고 하면,

두 근의 합은 $3-\sqrt2$

두 근의 곱은 $2-\sqrt2$

따라서, $x^2-(3-\sqrt2)x+(2-\sqrt2)=0$ 이라는 이차방정식을 만들 수 있죠.

계수가 얼마든지 복잡한 수가 될 수 있다면,

근도 아무거나 가능하다는 뜻입니다.