■ 목표
- 계수가 유리수, 한 근이 무리수인 경우 나머지 한 근은?
- 계수가 실수, 한 근이 허수인 경우 나머지 한 근은?

개요
이차방정식의 마지막 성질은 바로
켤레근의 성질입니다.
근이 한 켤레가 된다는 뜻이죠.
켤레라는 단어는
복소수 단원에서 처음 등장했습니다.
<참고> 켤레복소수
켤레복소수의 정의와 성질
■ 목표 - 켤레복소수의 정의 - 켤레복소수의 성질 켤레복소수 켤레라는 단어 자체는 많이 들어봤을 거예요. 신발 한 켤레, 양말 한 켤레. 켤레복소수란 주어진 어떤 복소수의 나머지 한 짝을 말
indv-wrappedmath.tistory.com
어떤 두 복소수가 켤레라면
덧셈(
근의 공식을 통해 두 근을 잘 살펴볼까요?
거의 똑같이 생겼지만, 루트 앞의 부호만 다르죠.
그래서 생긴 걸 보면 두 근이 언제나 켤레 관계일 것 같지만,
사실 그렇지는 않습니다.
아닌 경우도 많죠.
그래서 이번엔 이차방정식의 두 근이 켤레 관계가 되는
두 가지 상황에 대해 알아보려 합니다.
A. 계수가 유리수, 한 근은 무리수인 경우
첫 번째 상황은
다음 두 가지 조건이 주어진 경우입니다.
① 이차방정식의 계수가 모두 유리수이다.
② 한 근이 무리수이다.
예시를 통해 살펴볼까요?
■ 예시1

①
"계수가 모두 유리수" 인 이차방정식입니다.
여기서 우리가 근과 계수의 관계를 통해 알 수 있는 것이 있습니다.
두 근의 합도
두 근의 곱도
② 하지만 한 근이 무리수입니다.
즉, 나머지 한 근은 다음 두 식을 만족해야만 하죠.
우선, 더해서 루트가 사라지려면
반드시
그리고 곱해서 루트가 사라지려면
따라서, 두 근은
즉, 켤레 관계가 됩니다.
■ 예시2

위 문제와 똑같아 보이지만,
"
과연 이때에도 나머지 한 근이
사실 이 때는 나머지 한 근이 딱 정해지지 않습니다.
만약, 두 근이
두 근의 합은
두 근의 곱은
따라서,
계수가 얼마든지 복잡한 수가 될 수 있다면,
근도 아무거나 가능하다는 뜻입니다.
■ 이차방정식의 켤레근의 성질 A

B. 계수가 실수, 한 근은 복소수인 경우
두 번째 상황은
다음 두 가지 조건이 주어진 경우입니다.
① 이차방정식의 계수가 모두 실수이다.
② 한 근이 허수이다.
마찬가지로 예시를 통해 간단하게 살펴보죠.
■ 예시

①
이번엔 두 근의 합과 두 근의 곱이 모두 실수라는 것을 알 수 있습니다.
② 하지만, 한 근이 허수인
나머지 한 근은 더하거나 곱해도 무조건 실수가 되는
켤레복소수여야 합니다.
즉, 두 근은
■ 이차방정식의 켤레근의 성질 B

마무리
여기까지가 수학(상)에서 배우는
이차방정식의 전부입니다.
풀이가 간단한 만큼, 풀이보다는
근의 공식을 이용한 여러 성질들을 익히고,
활용하는 것이 중요했죠.
다음은 새로운 단원으로
이차함수에 대해 알아보도록 해요.
'공통수학1 [고1] > 5. 이차방정식' 카테고리의 다른 글
이차방정식과 나머지정리 (0) | 2023.08.19 |
---|---|
이차방정식의 근과 식의 변형 (0) | 2023.08.13 |
이차방정식의 작성 (0) | 2023.08.12 |
특정 식의 값 구하기 (0) | 2023.08.06 |
이차방정식의 근과 계수의 관계 (0) | 2023.08.05 |
댓글