특정 식의 값 구하기

■ 목표

- $f(\alpha)$ 구하기

- $f(\alpha, \beta)$ 구하기

 

 

 

 

 

개요

 

계속 강조하고 있지만, 이차방정식은

"근을 구하지 않고"  풀어내는 것이 중요합니다.

 

 

그래서 이번엔

이를 직접 활용할 수 있는 유형을 가져왔습니다.

 

 

$ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을  $\alpha$,  $\beta$ 라 할 때,

$\alpha$,  $\beta$ 로 만들어진  "어떤 식의 값을 구하시오"

라는 유형이죠.

 

 

명심하세요.

$\alpha$,  $\beta$ 를 직접 구하는 것보다 쉬운 방법이 있다는 걸.

 

 

 

$f(\alpha)$ 구하기

 

아래 예시 문제는

중 3-1에도 나오는 간단한 문제입니다.

하지만, 중요한 사실을 알려주죠.

 

 

$f(x)=0$ 의 근이  $\alpha$ 라면,

"$f(\alpha)=0$" 이라는 걸 이용할 수 있다는 걸 말이죠.

 

 

■ 예시

 

$f(\alpha)=\alpha^2+3\alpha+1=0$ 이기 때문에,

 

$\begin{align*}
\alpha^2+3\alpha+5 &=\alpha^2+3\alpha+1+4 \\\\&=f(\alpha)+4 \\\\&=0+4
\end{align*}$

 

답은  $4$ 가 됩니다.

 

 

 

$f(\alpha, \beta)$ 구하기

 

자 이번엔 두 근인  $\alpha$, $\beta$ 가 모두 포함된

식의 값을 묻는 유형입니다.

 

 

$f(\alpha)=0$,  $f(\beta)=0$ 도 이용할 수 있지만,

근과 계수의 관계를 통해

$\alpha+\beta$,  $\alpha\beta$ 도 이용할 수 있죠.

 

 

■ 예시

 

① 이전 문제와 마찬가지로,

 

$f(\alpha)=\alpha^2+3\alpha+1=0$ 이기 때문에,

 

$\alpha^2=-3\alpha-1$ 과 같습니다.

 

$\begin{align*}
\alpha^2-3\beta &=(-3\alpha-1)-3\beta \\\\
&=-3(\alpha+\beta)-1
\end{align*}$

 

② 여기서 근과 계수의 관계에 의해

$\alpha+\beta=-3$ 이므로,

 

답은  $8$ 이 됩니다.

 

 

■ 이차방정식의 두 근이  $\alpha$, $\beta$ 일 때,  $f(\alpha, \beta)$ 구하기

​

 

 

마무리

 

근을 구하지 않고 문제를 풀어내는

대표적인 유형을 살펴봤어요.

 

근을 직접 구해서 푸는 것도 가능은 하지만,

아는 만큼 쉬워지는 유형이죠.

여기까지!