이차방정식의 판별식(Discriminant)

■ 목표

- 이차방정식의 근의 판별(중3 버전)

- 이차방정식의 근의 판별(고1 버전)

 

 

 

 

 

개요

 

근의 공식을 찾아낸 이상

이제 이차방정식의 근은 무조건 구할 수 있습니다.

 

 

<참고> 이차방정식의 풀이

이차방정식의 풀이

 

 

하지만, 근을 구하는 게 그다지 중요하지 않을 때도 많습니다.

근이 너무 복잡하다면, 오히려 계산이 힘들어지기 때문이죠.

 

 

그래서 굳이 근을 구하지 않고,

이차방정식의 여러 정보들을 알아내는 방법을 살펴볼 것입니다.

 

 

그 첫 번째는 근의 판별입니다.

 

 

 

이차방정식의 근의 판별 (중3 버전)

 

판별식(Discriminant)은

이미 중학교 3-1 과정에서 배운 내용입니다.

 

 

이차방정식을 보고 바로 근의 개수를 알 수 있는 식이죠.

그건 근의 공식 덕분입니다.

 

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여기서 근의 개수를 결정하는 부분은

바로 이것입니다.

 

 

① 앞의  $\pm$ 라는 기호 때문에

근은 보통 두 개입니다.

 

 

② 하지만, 만약  $b^2-4ac=0$ 이라면,

$\pm$ 도 사라져 버려서 근은 한 개가 되죠.

 

 

③ 그리고  $b^2-4ac$ 가 만약 음수라면,

아예 근은 존재하지 않게 됩니다.

 

 

중3 때만 해도

모든 수는 제곱하면 양수가 되므로,

루트 안에는  "절대 음수가 올 수 없다" 라고 배웠기 때문이죠.

 

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결국  "루트 안에 있는 식" 이 어떤 값인지에 따라

근의 개수가 달라집니다.

 

 

이 루트 안의 식인  $b^2-4ac$ 를

근을 판별하는 식 즉, 판별식(Discriminant)이라 하고,

기호  $D$ 로 나타냅니다.

 

 

■ 이차방정식의 근의 판별 (중3 버전)

​

 

 

이차방정식의 근의 판별(고1 버전)

 

우리는 고1이 되면서 수의 체계를 확장했고,

제곱하면 음수가 되는 수인 허수를 배웠습니다.

 

 

<참고> 수 체계의 확장

수 체계의 확장

 

 

즉, 루트 안에 음수를 쓸 수 있다는 걸 알았죠.

 

 

근이 존재하지 않는 것이 아니라

사실 허수인 근이 존재했던 것입니다.

 

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따라서, 이제 이차방정식의 근의 판별은

단순히 개수뿐 아니라

근이 실수인지 허수인지도 구분을 해주어야 합니다.

 

 

■ 이차방정식의 근의 판별 (고1 버전)

​

 

※ 한 가지 주의할 점은 중근인데,

이 경우 근의 개수가 하나라고 생각하기 쉽죠.

 

 

중근은 완전제곱식을 풀 때 나오는데,

의미는 "중복된 근" 이라는 뜻입니다.

 

 

 

 

똑같은 근인  $x=2$ 가 두 개 나오기 때문에,

하나만 써주고  "중근" 이라고 써주는 것입니다.

즉,  "서로 같은 실근 2개" 라는 의미와 같죠.

 

 

그래서 이차방정식은

서로 다른 두 실근이든, 중복된 두 개의 근이든, 서로 다른 두 허근이든,

"무조건 근 2개" 를 갖는다는 뜻입니다.

 

 

 

마무리

 

이차방정식에 대한 정보 찾아내기 첫 번째,

근의 판별이었습니다.

한번 배웠었던 내용에 조금 확장만 된 것이니

크게 어렵진 않았을 거예요.

여기까지!