절댓값(Absoulte Value)

■ 목표

- 절댓값(Absolute Value)

- 절댓값이 포함된 방정식

 

 

 

 

 

개요

 

평범한 방정식이나 부등식을

어렵고 복잡한 문제로 만드는 대표적인 요인.

그 중 첫번째가 바로 절댓값입니다.

 

 

단순히 이 문제유형을 푸는 방법을 아는 것보단,

절댓값의 정확한 의미를 이해하는 것이 중요합니다.

 

 

 

절댓값(Absolute Value)

 

많은 학생들이 절댓값의 정의는 몰라도

푸는 방법은 압니다.

 

 

기호  $|　|$ 가

"무조건 양수로 바꿔주는 기호" 라고 알고 있기 때문이죠.

 

 

예를 들면,  $|1|=1$,  $|-1|=1$ 이렇게

절댓값 기호 안쪽의 수가

양수라면 그대로 

음수라면 부호를 바꿔 써주면 됩니다.

 

 

■  $x$ 의 절댓값의 정의와 성질

​

 

$-x$ 는 음수처럼 보이지만

$x$ 가 음수라면  $-x$ 가 양수인 겁니다.

즉, 절댓값은 무조건 양수가 된다는 뜻이죠.

 

 

$x$ 의 부호에 따라 생긴 모습은 다르지만,

제곱하면 똑같아진다는 성질도 갖고있죠.

 

 

근데 절댓값 기호는

왜  "양수로 바꿔주는 기호" 가 된 걸까요?

 

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절댓값이란 수직선에서

"원점으로부터의 거리" 를 의미합니다.

 

 

방향은 생각하지 말고,

얼마나 멀리 떨어져있는 지 절대적인 거리값만 생각하자는 거죠.

 

 

 

 

그래서  $|1|$ 은  "원점과  $1$ 사이의 거리",

$|-1|$ 은  "원점과  $-1$ 사이의 거리" 이므로,

$1$ 이 됩니다.

 

 

거리가 음수일 수는 없기 때문에

모든 수의 절댓값은 항상 양수가 되는 것이죠.

 

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반대로 원점으로부터의 거리가  $1$ 인 점이 뭔지

물어본다면 답은  $1$ 과  $-1$ 이 됩니다.

 

 

이를 기호로 쓰면 이렇게 되죠.

$|x|=1$ 이면  $x=1,  -1$ 이다.

 

 

■ 원점으로부터의 거리가  $a$ 인 점  $x$

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수직선 위의 두 점 사이의 거리를 구할 때도,

절댓값을 사용하면 편리합니다.

 

 

수직선 위에서 거리는

$2$ 와  $5$ 사이의 거리는  $5-2=3$ 이고,

$9$ 와  $3$ 사이의 거리는  $9-3=6$ 인 것처럼,

큰 수에서 작은 수를 빼주면 됩니다.

 

 

하지만,  "$a$ 와  $b$ 사이의 거리" 처럼

둘 중에 누가 더 큰 지를 모른다면, 어떻게 할까요?

 

 

이때, 절댓값을 이용해서

거리를  $|a-b|$ 혹은  $|b-a|$ 로 써주면 됩니다.

 

 

 

 

어차피  $a$ 가 더 크든 더 작든

절댓값은 무조건 양수가 되기 때문이죠. 

 

 

 

절댓값이 포함된 방정식

 

자 이제 실전입니다.

방정식을 어렵게 만들고 싶다면,

적당히 절댓값만 씌우면 완성입니다. 

 

 

 

 

우리가 배운 절댓값의 정의를 이용해서

이 문제를 세 가지 관점으로 풀어볼게요.

 

 

■  예시

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A. 양수로 바꿔주는 기호

 

 

 

가장 익숙한 방법이죠.

$x-2$ 가 양수인지 음수인지 모르기 때문에

두 가지 경우로 나누어서 식을 풉니다.

 

 

1) $x\geq2$ 이면, 양수이므로 그대로  $x-2$ 가 됩니다.

$x-2=3$ 이므로,  $x=5$ 입니다.

 

 

2) $x<2$ 이면, 음수이므로 부호를 바꿔  $-x+2$ 가 됩니다.

$-x+2=3$ 이므로,  $x=-1$ 입니다.

답은  $x=-1,  5$

 

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B. 원점으로부터의 거리

 

 

원점으로부터 점 $(x-2)$ 까지의 거리가  $3$ 이라는 뜻입니다.

원점에서 거리가  $3$ 인 점은  $-3, 3$ 딱 두 개죠.

 

 

 

 

따라서,  $x-2=-3$,  $x-2=3$ 이고,

답은  $x=-1,  5$ 입니다.

 

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C. 두 점 사이의 거리

 

 

점 $x$ 와 점 $2$ 사이의 거리가  $3$ 이라는 뜻입니다.

점 $2$ 에서 거리가  $3$ 인 점은  $-1, 5$ 딱 두 개죠.

 

 

 

 

따라서,  $x=-1$,  $x=5$ 입니다.

 

 

결국 거리를 이용한 방법이

굉장히 편리하다는 것을 알 수 있죠.

 

 

 

마무리

 

절댓값 자체로는 크게 어렵지 않지만,

방정식과 부등식, 함수에 포함되면서

많은 학생들의 머리를 아프게 하는 개념이죠.

 

개념을 한번 정확하게 이해하면

어려운 문제들도 잘 이해해낼 수 있으니

꼭 알아두는 것이 좋습니다!