이차방정식의 근과 계수의 관계

■ 목표

- 이차방정식의 근과 계수의 관계

- 근과 계수의 관계 증명

 

 

 

 

 

개요

 

우리는 판별식에 이어 근을 구하지 않고도,

이차방정식의 중요한 성질들을 알아내는 방법을 배우고 있습니다.

 

 

<참고> 이차방정식의 판별식

이차방정식의 판별식(Discriminant)

 

 

이번엔 그 두 번째인 근과 계수의 관계입니다.

이차방정식의 계수만을 이용해서 두 근에 대한 정보를 알 수 있는

아주 훌륭한 방법이죠.

 

 

줄여서  "근계관" 이라고 많이들 부르는데요.

줄임말까지 있다는 건

그만큼 활용도가 아주 높다는 거겠죠?

 

 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계

 

이차방정식은 보통 이렇게 생겼습니다.

 

$$ax^2 + bx + c = 0$$

 

이 이차방정식의 근을 $α$ 와  $β$ 라고 해봅시다.

 

 

두 근  $α$ 와  $β$ 를 직접 구하지 않고도, 계수인  $a$,  $b$,  $c$ 를 이용하면,

두 근의 합인  $\alpha+\beta$ 와

두 근의 곱인  $\alpha\beta$ 는 아주 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 

‘두 근의 관계를 계수를 이용하여 구한다.’

그래서 이를  "근과 계수의 관계" 라고 합니다.

 

 

■ 이차방정식의 근과 계수의 관계

 

 

그냥 식에  $a$,  $b$,  $c$ 를 대입만 하면 되죠.

근데 왜 이런 관계가 성립하는 걸까요??

 

 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계 증명 

 

■ 근의 공식을 통한 증명

 

근의 공식을 통해 근을 구해보면 다음과 같습니다.

 

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$$

 

근은 확실히 복잡해 보이죠.

 

 

하지만, 두 근을 더하거나 곱한다면

계산 결과는 굉장히 단순해집니다.

 

 

① 두 근의 합 구하기

$$\begin{align} \alpha+\beta &=\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a} +  \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a} \\ \\ &=-\frac{2b} {2a} \\ \\ &=-\frac{b} {a} \end{align}$$

 

$\pm$ 부호 때문에 루트가 있는 항은 사라지고,  $-\dfrac{b} {a}$ 만 남게 되죠.

 

 

② 두 근의 곱 구하기

$$\begin{align*}\alpha \beta &= \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}\right) \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}\right) \\\\&= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2} {(2a)^2} \\\\&= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)} {4a^2} \\\\&= \frac{4ac} {4a^2} \\\\&= \frac{c} {a}\end{align*}$$

 

 

합차공식에 의해 많은 항이 사라지고,  $\dfrac{c}{a}$ 만 남습니다.

 

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■ 인수분해를 통한 증명

이차방정식의 근을 $\alpha$와 $\beta$라고 할 때,

주어진 이차식을 인수분해하면 다음과 같습니다.

$$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) $$

이 식을 풀면 다음과 같죠.

 

$$
\begin{align*}
ax^2 + bx + c &= a\{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta\} \\\\
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta
\end{align*}
$$

이제 양쪽을 비교해 보면 알 수 있습니다.

 

$$\begin{align} \alpha+\beta &= -\frac{b}{a}\\\\ \alpha\beta &= \frac{c}{a} \end{align} $$

 

 

 

마무리

 

근과 계수의 관계는

복잡한 계산이 없이 이차방정식의 성질을 파악하고,

문제를 더욱 효과적으로 해결할 수 있게 해주는 멋진 방법입니다.

 

이차방정식뿐 아니라, 더 확장되어

비에트의 정리(Viète’s theorem) 라는 이름으로써

많은 다항식에서 활용된답니다.

여기까지!