■ 목표
- 복소수 범위에서 인수분해 하기
- 이차식의 인수분해 방법
복소수 범위에서 인수분해 하기
근의 공식도 배웠고, 허근의 존재도 알았으니,
이제 모든 이차방정식은
"무조건 2개의 근을 갖는다" 는 사실을 알 수 있었죠.
근데 여전히 우리는 어떤 이차방정식을 풀 때,
방법이 여러 가지라고 생각합니다.
인수분해가 되면 인수분해를 하고,
인수분해가 안되면 완전제곱식을 이용하거나
근의 공식을 쓰죠.
근데 왜 인수분해가 안되는 식이 있을까요?
이유는 간단합니다.
유리수 범위에서만 인수분해하기로 약속했기 때문입니다.
안 그러면 복잡해보이니까요.
<참고> 인수분해
인수분해의 범위를 유리수에서 복소수로
즉, 최대로 확장하면,
인수분해가 안되던 식들도 무조건 인수분해가 가능해집니다.
그래서 문제가 이렇게 출제됩니다.
"다음 이차식을 복소수 범위에서 인수분해 하시오."
자 그럼 이제 방법을 알아볼까요?
이차식의 인수분해 방법
인수분해란
"어떤 식을 더 작은 차수의 식의 곱" 으로 나타내는 것입니다.
즉, (2차식)$=$(1차식)$\times$(1차식) 이 되죠.
이런 형태로 바꿔주면
인수분해되었다고 표현합니다.
가만 보니
$a$ 와 $\alpha$, $\beta$ 를 구하기만 하면
인수분해 끝이군요.
① $a$ 는 왼쪽 식과 비교하면 바로 알 수 있죠.
② $\alpha$, $\beta$ 라는 기호를 보면 눈치채셨을 수 있지만,
바로 이차방정식의 근입니다.
왜냐면 양쪽 식에 $\alpha$, $\beta$ 를 대입하면,
이렇게 되거든요.
이차식에 $\alpha$, $\beta$ 를 넣었는데 $0$ 이 되었다?
우린 그걸 이차방정식의 근이라고 하죠.
이 사실을 이용하면 근을 구함으로써
인수분해를 할 수 있게 됩니다.
■ 이차식의 인수분해(복소수 범위)
① $a$ 를 구한다.
② $ax^2+bx+c=0$ 의 근 $\alpha$, $\beta$ 를 구한다.
핵심은 목적이 바뀌었다는 것입니다.
기존엔 "근을 구하기 위해 인수분해" 를 했는데,
이젠 "인수분해를 하기 위해 근을 구한 것" 이죠.
■ 예시
이 식을 인수분해 해보려고 합니다.
유리수 범위에서는 인수분해가 안 되겠지만,
일단 어떻게든 인수분해했다고 치면, 이런 모양이 됩니다.
① $a$ 를 구한다.
왼쪽 식의 $x^2$ 과 오른쪽 식의 $ax^2$ 이 같아야 하므로,
$a=1$ 입니다.
② $x^2+2x+2=0$ 의 근 $\alpha$, $\beta$ 를 구한다.
구한 값을 다 대입해 주면, 인수분해가 끝납니다.
인수분해를 했는데, 허수인 $i$ 가 있죠.
따라서, 이를 "복소수 범위에서 인수분해" 했다고 합니다.
마무리
이차방정식 풀이를 할 수 있게 되면서
이를 이용한 "확장된 범위의 인수분해"를 해봤어요.
방법을 정확하게 외우지 않더라도,
인수분해에 대한 틀을 깨는 것 만으로 충분하답니다.
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