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공통수학1 [고1]/5. 이차방정식

이차식의 인수분해

by Hamston 2023. 7. 29.
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 목표

- 복소수 범위에서 인수분해 하기

- 이차식의 인수분해 방법

 

 

이차식의 인수분해 썸네일

 

 

 

복소수 범위에서 인수분해 하기

 

근의 공식도 배웠고, 허근의 존재도 알았으니,

이제 모든 이차방정식은

"무조건 2개의 근을 갖는다" 는 사실을 알 수 있었죠.

 

 

근데 여전히 우리는 어떤 이차방정식을 풀 때,

방법이 여러 가지라고 생각합니다.

 

 

인수분해가 되면 인수분해를 하고,

인수분해가 안되면 완전제곱식을 이용하거나

근의 공식을 쓰죠.

 

 

근데 왜 인수분해가 안되는 식이 있을까요?

 


 

이유는 간단합니다.

유리수 범위에서만 인수분해하기로 약속했기 때문입니다.

안 그러면 복잡해보이니까요.

 

 

<참고> 인수분해

 

인수분해 개요

■ 목표 - 인수분해 알아보기 - 다항식의 인수분해 알아보기 인수분해란 인수분해란 인수(약수)들이 보이게끔 분해한다는 뜻입니다. 즉, "더 작은 수들의 곱으로 나열하는 것"입니다. 예를 들어,

indv-wrappedmath.tistory.com

 

 

인수분해의 범위를 유리수에서 복소수

즉, 최대로 확장하면,

인수분해가 안되던 식들도 무조건 인수분해가 가능해집니다.

 

 

그래서 문제가 이렇게 출제됩니다.

"다음 이차식을 복소수 범위에서 인수분해 하시오."

자 그럼 이제 방법을 알아볼까요?

 

 

 

이차식의 인수분해 방법

 

인수분해

"어떤 식을 더 작은 차수의 식의 곱" 으로 나타내는 것입니다.

즉, (2차식)$=$(1차식)$\times$(1차식) 이 되죠.

 

 

이런 형태로 바꿔주면

인수분해되었다고 표현합니다.

 


 

가만 보니

$a$ 와  $\alpha$,  $\beta$ 를 구하기만 하면

인수분해 끝이군요.

 

 

① $a$ 는 왼쪽 식과 비교하면 바로 알 수 있죠.

 

② $\alpha$,  $\beta$ 라는 기호를 보면 눈치채셨을 수 있지만,

바로 이차방정식의 입니다.

 

 

왜냐면 양쪽 식에  $\alpha$,  $\beta$ 를 대입하면,

이렇게 되거든요.

 

 

 

이차식에  $\alpha$,  $\beta$ 를 넣었는데  $0$ 이 되었다?

우린 그걸 이차방정식의 이라고 하죠.

 

 

 

이 사실을 이용하면 근을 구함으로써

인수분해를 할 수 있게 됩니다.

 

 

 이차식의 인수분해(복소수 범위)

 

① $a$ 를 구한다.

$ax^2+bx+c=0$ 의 근  $\alpha$,  $\beta$ 를 구한다.

 

 

 

핵심은 목적이 바뀌었다는 것입니다.

기존엔  "근을 구하기 위해 인수분해" 를 했는데,

이젠  "인수분해를 하기 위해 근을 구한 것" 이죠.

 


 예시

 

이 식을 인수분해 해보려고 합니다.

 

 

유리수 범위에서는 인수분해가 안 되겠지만,

일단 어떻게든 인수분해했다고 치면, 이런 모양이 됩니다.

 

 

 


 

① $a$ 를 구한다.

왼쪽 식의  $x^2$ 과 오른쪽 식의  $ax^2$ 이 같아야 하므로,

$a=1$ 입니다.

 

 

 $x^2+2x+2=0$ 의 근  $\alpha$,  $\beta$ 를 구한다.

 

 

 


 

구한 값을 다 대입해 주면, 인수분해가 끝납니다.

 

 

 

 

인수분해를 했는데, 허수인  $i$ 가 있죠.

따라서, 이를  "복소수 범위에서 인수분해" 했다고 합니다.

 

 

 

마무리

 

이차방정식 풀이를 할 수 있게 되면서

이를 이용한 "확장된 범위의 인수분해"를 해봤어요.

 

방법을 정확하게 외우지 않더라도,

인수분해에 대한 틀을 깨는 것 만으로 충분하답니다.

 

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