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공통수학1 [고1]/5. 이차방정식

이차방정식의 근과 계수의 관계

by Hamston 2023. 8. 5.
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 목표

- 이차방정식의 근과 계수의 관계

- 근과 계수의 관계 증명

 

 

근과 계수의 관계 썸네일

 

 

 

개요

 

우리는 판별식에 이어 근을 구하지 않고도,

이차방정식의 중요한 성질들을 알아내는 방법을 배우고 있습니다.

 

 

<참고> 이차방정식의 판별식

 

이차방정식의 판별식(Discriminant)

■ 목표 - 이차방정식의 근의 판별(중3 버전) - 이차방정식의 근의 판별(고1 버전) 개요 근의 공식을 찾아낸 이상 이제 이차방정식의 근은 무조건 구할 수 있습니다. 이차방정식의 풀이 이차방정

indv-wrappedmath.tistory.com

 

 

이번엔 그 두 번째인 근과 계수의 관계입니다.

이차방정식의 계수만을 이용해서 두 근에 대한 정보를 알 수 있는

아주 훌륭한 방법이죠.

 

 

줄여서  "근계관" 이라고 많이들 부르는데요.

줄임말까지 있다는 건

그만큼 활용도가 아주 높다는 거겠죠?

 

 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계

 

이차방정식은 보통 이렇게 생겼습니다.

 

ax2+bx+c=0

 

이 이차방정식의 근을 α 와  β 라고 해봅시다.

 

 

두 근  α 와  β 를 직접 구하지 않고도, 계수인  abc 를 이용하면,

두 근의 합인  α+β

두 근의 곱인  αβ 는 아주 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 

두 근의 관계계수를 이용하여 구한다.

그래서 이를  "근과 계수의 관계" 라고 합니다.

 

 

 이차방정식의 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계

 

 

그냥 식에  abc 를 대입만 하면 되죠.

근데 왜 이런 관계가 성립하는 걸까요??

 

 

 

이차방정식의 근과 계수의 관계 증명 

 

근의 공식을 통한 증명

 

근의 공식을 통해 근을 구해보면 다음과 같습니다.

 

x=b±b24ac2a

 

근은 확실히 복잡해 보이죠.

 

 

하지만, 두 근을 더하거나 곱한다면

계산 결과는 굉장히 단순해집니다.

 

 

① 두 근의 합 구하기

α+β=b+b24ac2a+bb24ac2a=2b2a=ba

 

± 부호 때문에 루트가 있는 항은 사라지고,  ba 만 남게 되죠.

 

 

② 두 근의 곱 구하기

αβ=(b+b24ac2a)(bb24ac2a)=(b)2(b24ac)2(2a)2=b2(b24ac)4a2=4ac4a2=ca

 

 

합차공식에 의해 많은 항이 사라지고,  ca 남습니다.

 


인수분해를 통한 증명

이차방정식의 근을 αβ라고 할 때,

주어진 이차식을 인수분해하면 다음과 같습니다.

ax2+bx+c=a(xα)(xβ)

이 식을 풀면 다음과 같죠.

 

ax2+bx+c=a{x2(α+β)x+αβ}x2+bax+ca=x2(α+β)x+αβ

이제 양쪽을 비교해 보면 알 수 있습니다.

 

α+β=baαβ=ca

 

 

 

마무리

 

근과 계수의 관계

복잡한 계산이 없이 이차방정식의 성질을 파악하고,

문제를 더욱 효과적으로 해결할 수 있게 해주는 멋진 방법입니다.

 

이차방정식뿐 아니라, 더 확장되어

비에트의 정리(Viète’s theorem) 라는 이름으로써

많은 다항식에서 활용된답니다.

여기까지!

 

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