이차방정식의 작성

■ 목표

- 인수정리 이용하기

- 근과 계수의 관계 이용하기

 

 

 

 

 

개요

 

이차방정식의 작성 유형은

조건에 맞는  '이차방정식을 찾아내는 것' 이 목표입니다.

 

 

직접 근을 알려주거나,

근에 대한 정보를 주기도 하죠.

 

 

 

인수정리 이용

 

첫번째로 두 근을 직접 알려주는 경우입니다.

가장 간단하죠.

 

 

만약, 어떤 이차방정식의 두 근이

$x=2$ 와  $3$ 이라면,

이 식은  $(x-2)$ 와 $(x-3)$ 을 인수로 갖습니다.

인수정리에서 배운 내용이죠.

 

 

<참고> 인수정리

인수정리

 

 

그리고 최고차항의 계수가  $2$ 라면,

이 이차방정식은  $2(x-2)(x-3)=0$

즉,  $2x^2-10x+12=0$ 이 됩니다.

 

 

■ 인수정리를 이용한 이차방정식의 작성

​

 

 

근과 계수의 관계 이용

 

두 번째는 두 근이 아니라,

근에 대한 식의 값을 알려주는 경우입니다.

 

 

가장 대표적으로는

두 근을  $\alpha$,  $\beta$ 라 할 때,

$\alpha+\beta=3$,  $\alpha\beta=5$ 이다.

이렇게 두 근의 합과 두 근의 곱을 알려주는 경우입니다.

 

 

대놓고 근과 계수의 관계를 이용하라는 문제죠. 

 

 

<참고> 근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계

 

 

만약, 최고차항의 계수가  $1$ 이라면,

이 이차방정식은  $x^2-3x+5=0$ 가 됩니다.

 

 

최고차항의 계수가  $2$ 라면,

그냥  $2$ 를 곱해서  $2x^2-6x+10=0$ 이 되죠.

 

 

■ 근과 계수의 관계를 이용한 이차방정식의 작성

​

 

자 이 유형은 조금 더 발전해서,

근과 계수의 관계에 대한 힌트를 숨기기도 합니다.

한번 예시를 볼까요?

 

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■ 예시

 

① 근과 계수의 관계

첫 번째 식에서 근과 계수의 관계를 이용해,

$\alpha+\beta=-3$,  $\alpha\beta=1$ 임을 알 수 있습니다.

 

 

② 새로운 두 근의 합과 곱 구하기

 

1) 두 근의 합

 

$\begin{align*} (\alpha-1)+(\beta-1) &=\alpha+\beta-2 \\\\ &=-3-2 \\\\ &=-5 \end{align*}$

 

2) 두 근의 곱

 

$\begin{align*} (\alpha-1)(\beta-1) &=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1 \\\\ &=1+3+1 \\\\ &=5 \end{align*}$

 

 

③ 이차방정식 작성하기

 

$2(x^2+5x+5)=0$

 

즉,  $2x^2+10x+10=0$

 

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이처럼 조금 변형된 근을 가진 이차방정식도

근과 계수의 관계를 이용해 찾아낼 수 있습니다.

 

 

 

마무리

 

이번엔 이차방정식에서 정보를 찾는 것이 아니라,

정보를 이용해 이차방정식을 찾는 유형을 살펴봤어요.

 

기존의 알던 지식을 거꾸로 생각해 보는 것은

아주 중요한 사고능력이죠.

여기까지!