이차방정식과 나머지정리

■ 목표

- 이차방정식과 나머지정리

- 나머지가 상수인 경우

- 나머지가 일차식인 경우

 

 

 

 

 

이차방정식과 나머지정리

 

우리는 주어진 정보를 이용해서

이차방정식을 찾아내는 문제를 계속 풀고 있습니다.

 

 

그중 가장 기본적인 형태가

근을 알려주고 이차방정식을 찾는 것이었죠.

 

 

<참고> 이차방정식의 작성

이차방정식의 작성

 

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근데 인수정리는 원래

다항식의 나눗셈 과정에서 나온 정리예요.

나눗셈과 관련이 깊습니다.

 

 

<인수정리>

인수정리

 

 

$f(x)=0$ 의 근이  $\alpha$,  $\beta$ 라는 건,

$f(x)$ 가 $(x-\alpha)(x-\beta)$ 를  "인수로 갖는다" 는 뜻이고,

$f(x)$ 가 $(x-\alpha)(x-\beta)$ 로  "나누어 떨어진다" 는 말도 됩니다.

 

 

 

이차식을 이차식으로 나누어서,

몫은 상수인  $a$, 나머지가  $0$ 이기 때문에,

$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 가 되는 것이죠.

 

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그렇다면, 이차식

$(x-\alpha)(x-\beta)$ 로 나눈 나머지가

$0$ 이 아닌 경우도 있겠죠?

 

 

바로, 나머지가 상수이거나 일차식인 경우입니다.

나머지정리에 따라서 말이죠.

 

 

 

나머지가 상수인 경우

 

$f(x)$ 가 이렇게 생겼다고 해볼까요?

$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)+k$

 

 

$f(x)$ 는 이차식이고,

$(x-\alpha)(x-\beta)$ 로 나눈 나머지가  $k$ 이죠.

 

 

이 조건을 간단하게

$f(\alpha)=f(\beta)=k$ 로 표현할 수 있습니다.

 

 

문제에서는 반대로

$f(\alpha)=f(\beta)=k$ 라는 조건을 보고

$f(x)$ 가 어떤 모양인지를 생각해내는 것이 필요합니다.

 

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■ 예시

 

우리가 찾고자하는 것은 이차식  $f(x)$ 입니다.

 

 

$x^2$ 의 계수가  $2$ 이고,

$f(\alpha)=f(\beta)=3$ 이라는 조건에서

$f(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)+3$ 임을 알 수 있죠.

 

 

그리고  $x^2-2x+2$ 의 근이  $\alpha$,  $\beta$ 이기 때문에

$x^2-2x+2=(x-\alpha)(x-\beta)$ 입니다.

 

 

즉,  $f(x)=2(x^2-2x+2)+3$ 이고

$f(1)=2+3=5$ 입니다.

 

 

■ 나머지가 상수인 이차식  $f(x)$

​

 

 

나머지가 일차식인 경우

 

이번엔  $f(x)$ 가 이렇게 생겼습니다.

$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)+x+1$

 

 

$f(x)$ 는 이차식이고,

$(x-\alpha)(x-\beta)$ 로 나눈 나머지가  $x+1$ 이죠.

 

 

이 경우엔  $\alpha$ 를 넣으면,  $\alpha$ 에 대한 식이 나옵니다.

$f(\alpha)=\alpha+1$,  $f(\beta)=\beta+1$ 이죠.

 

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■ 예시1

 

$\alpha$ 와  $\beta$ 를 넣었을 때,

$\alpha$ 와  $\beta$ 에 대한 식이 나오죠.

 

 

그래서,  $f(x)$ 는 다음과 같이 생겼습니다.

$f(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)+2-x$

 

 

위의 예제와 마찬가지로,

$x^2-2x+2=(x-\alpha)(x-\beta)$ 이므로,

$f(x)=2(x^2-2x+2)+2-x$

$f(1)=2+2-1=3$ 입니다.

 

 

이 문제가 익숙해진다면,

주어진 조건이 너무 직관적이어서

조금 숨겨놓을 수도 있답니다.

 

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■ 예시2

 

아까와 비슷하지만,

$\alpha$ 를 넣으면,  $\beta$ 가 나오고

$\beta$ 를 넣으면,  $\alpha$ 가 나오죠.

 

 

엄청 특별한 성질이 있는 게 아니라

$\alpha$ 와  $\beta$ 의 관계식을 이용해서

교묘하게 숨겨놓았을 뿐입니다.

 

 

바로 근과 계수의 관계입니다.

주어진 이차방정식에서 두 근의 합,

$\alpha+\beta=2$ 라는 걸 알 수 있습니다.

 

 

즉,  $\beta=2-\alpha$,  $\alpha=2-\beta$ 인거죠.

$f(\alpha)=2-\alpha$

$f(\beta)=2-\beta$

결국은 예제1과 완전히 동일한 문제가 됩니다.

 

 

■ 나머지가 일차식인 이차식  $f(x)$

​

 

 

마무리

 

이차방정식에서

가장 어려운 문제로도 출제되는 유형이죠.

 

낯설지만 자주 보다 보면

앞으로도 구조가 잘 보일 거예요!

여기까지!